Dwie całki z tw. Greena

Różniczkowanie i całkowanie pól wektorowych. Formy różniczkowe i całkowanie form. Całki krzywoliniowe i powierzchniowe. Twierdzenie Greena, Stokesa itp. Interpretacja całek krzywoliniowych i powierzchniowych i ich zastosowania.
pennguin
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3
Rejestracja: 4 paź 2006, o 12:36
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Dobczyce
Podziękował: 1 raz

Dwie całki z tw. Greena

Post autor: pennguin » 8 wrz 2007, o 20:34

Witam, mam problemik z dwoma calkami, mianowicie rozchodzi się o to czy w ich rozwiązaniu można użyć tw. Greena czy nie? Jeśli nie to jak to rozwiązać bezboleśnie?

\(\displaystyle{ \int\limits_{l}\sqrt{x^{2}+y^{2}}dx+y[xy+\ln(x+\sqrt{x^{2}+y^{2}})]dy}\)

Gdzie dla pierwszej krzywa \(\displaystyle{ l}\) jest brzegiem zamkniętej elipsy \(\displaystyle{ \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{a^{2}}=1 (a, b\in\RR)}\) zorientowanym ujemnie.
Dla drugiej natomiast: krzywą obieganą w kierunku dodatnim, zamkniętą utworzoną z łuku \(\displaystyle{ y=\sin (x)}\) i osi \(\displaystyle{ Ox (0\leqslant x \leqslant \pi)}\)

Jak widać \(\displaystyle{ (0,0)}\) jest problematyczne :cry: z góry dziękuję za pomoc :D
Ostatnio zmieniony 8 wrz 2007, o 20:41 przez pennguin, łącznie zmieniany 1 raz.
Rekrutacja Instytut Matematyczny, Uniwersytet Wrocławski (gif)

luka52
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 8602
Rejestracja: 1 maja 2006, o 20:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 47 razy
Pomógł: 1817 razy

Dwie całki z tw. Greena

Post autor: luka52 » 8 wrz 2007, o 20:42

Tak - zamień tą całkę na całkę podwójną.
A w punkcie (0,0) będziesz musiał policzyć granicę.

pennguin
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3
Rejestracja: 4 paź 2006, o 12:36
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Dobczyce
Podziękował: 1 raz

Dwie całki z tw. Greena

Post autor: pennguin » 8 wrz 2007, o 20:48

Dzięki, za szybką odpowiedź.
W obu przypadkach? Nie koliduje to z założeniami do Greena?
Już się bałem że taki potwór jest do policzenia, dzięki jeszcze raz, z Greena to jest banalna już całeczka.

luka52
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 8602
Rejestracja: 1 maja 2006, o 20:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 47 razy
Pomógł: 1817 razy

Dwie całki z tw. Greena

Post autor: luka52 » 8 wrz 2007, o 21:14

pennguin, bardzo słuszna uwaga - w obu przypadkach nie można zastosować tw. Greena ze względu na osobliwość w początku układu współrzędnych.
Tw. Greena można byłoby jednak zastoswać, gdyby stała cykliczna odpowiadająca punktowi osobliwemu (0,0) wynosiłaby 0, jednak w tym przypadku tak nie jest.
Przepraszam za wprowadzenie w błąd.

pennguin
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3
Rejestracja: 4 paź 2006, o 12:36
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Dobczyce
Podziękował: 1 raz

Dwie całki z tw. Greena

Post autor: pennguin » 8 wrz 2007, o 21:32

Właśnie i w takim razie pozostaje pytanie jak się za to zabrać?

sirpietros
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 22
Rejestracja: 30 sie 2007, o 19:17
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: trzebinia
Pomógł: 3 razy

Dwie całki z tw. Greena

Post autor: sirpietros » 11 wrz 2007, o 00:47

Troszkę zmęczony jestem więc tak nieśmiało zapytam..Czy nie można po prostu policzyć tego używając potencjału pola? (O ile to pole jest bezwirowe..) Jeśli można to byłaby to zdecydowanie najmniej "inwazyjna" metoda;)

luka52
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 8602
Rejestracja: 1 maja 2006, o 20:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 47 razy
Pomógł: 1817 razy

Dwie całki z tw. Greena

Post autor: luka52 » 11 wrz 2007, o 15:55

sirpietros pisze:Czy nie można po prostu policzyć tego używając potencjału pola? (O ile to pole jest bezwirowe..)
Wyrażenie podcałkowe nie jest różniczką zupełną jakiejś funkcji dwóch zmiennych, więc nie.

ODPOWIEDZ