Matematyka.pl

Witam,

mam problem z prostym jak sie domyslam rownaniem rozniczkowym. Nie wiem czemu ciagle gdzies sie gubie w przeksztalceniach i dochodze do niczego. Bylbym bardzo wdzieczny za pomoc.

\(\displaystyle{ y' = -\frac{1}{1- \frac{y}{x} } + \frac{1}{y- \frac{y^2}{x} }}\)

Probowalem tutaj podstawiania za \(\displaystyle{ u = \frac{y}{x}}\) ale chyba nie tedy droga


Pozdrawiam

Jest to równanie różniczkowe zwyczajne - jednorodne.

Przekształcamy do postaci równania o zmiennych rozdzielonych:

\(\displaystyle{ y' = \frac{1}{1- \frac{y}{x}}\left( 1 + \frac{1}{y}\right).}\)

Stosujemy podstawienie:

\(\displaystyle{ \frac{y}{x} = u.}\)

\(\displaystyle{ y = xu, \ \ y' = u + xu'.}\)

\(\displaystyle{ u + xu' = \frac{1}{1-u} \left( 1 +u).}\)

\(\displaystyle{ xu' = \frac{1+u}{1 - u} -u,}\)

\(\displaystyle{ xu' = \frac{1+u^{2}}{1 -u}.}\)

\(\displaystyle{ \frac{1-u}{1+ u^{2}}du = \frac{1}{x}dx.}\)
.....................................

janusz47, miałem podobny pomysł, ale obawiam się, że popełniasz niestety błąd.

janusz47 pisze:\(\displaystyle{ y' = \frac{1}{1- \frac{y}{x}}\left( 1 + \frac{1}{y}\right)}\)

Winno być: \(\displaystyle{ y' = \frac{1}{1- \frac{y}{x}}\left(-1 + \frac{1}{y}\right)}\)

A nawet jeśli to pominąć, to dalej masz poważniejszy błąd:

\(\displaystyle{ u + xu' = \frac{1}{1-u} \left( 1 +u)}\)

Prawa strona jest niepoprawna. Wszelako \(\displaystyle{ y=ux}\), zatem \(\displaystyle{ \frac{1}{y}= \frac{1}{ux}}\).
Nie odbieraj tylko tego, proszę, w charakterze ataku.

To równanie uważam za dość trudne. Mimo ponadgodzinnego frontalnego ataku nie pokonałem go niestety. Może tu potrzeba czegoś sprytnego... Wolfram w ogóle tego nie rozwiązuje.
Roiło mi się podstawienie \(\displaystyle{ y=-x\tg^2(u)}\), ale i tak się nie udało pozbyć wszystkich syfów. -- 27 paź 2016, o 21:35 --Swoją drogą nie pisze się "I-szego", ale to szczegół.

Pozdrawiam. Gdybyś wpadł na rozwiązanie, to napisz, proszę.

@Premislav

Dziękuję bardzo za próbę pomocy, w pewnym sensie mnie to pocieszylo poniewaz myslalem, ze jest ono banalne a ja nie potrafie sie z nim uporac. Sam probowalem praktycznie wszystkimi znanymi mi metodami rozwiazywania rownan pierwszego rzedu niestety bezskutecznie.

Jesli tylko wpadne lub znajde jakiekolwiek rozwiązanie to je tutaj umiesze.

Rowniez pozdrawiam

...........................................
\(\displaystyle{ u + xu' = \frac{1}{1-u} \left( -1 +\frac{1}{xu}\right).}\)

\(\displaystyle{ xu' =\frac{ -(1+u +u^{2})xu +1}{(1+u)xu},}\)

\(\displaystyle{ u' = \frac{-(1 + u +u^{2})xu +1}{(1+u)x^{2}u}= \frac{-(1+u+u^{2}}{(1+u)x}+\frac{1}{u(1+u)x^{2}}.}\)

\(\displaystyle{ \left \{ \begin{matrix} \frac{-1}{2}\frac{(1+u)du}{(1+u +u^{2})} = \frac{1}{x}dx,\\

-\frac{1}{2}u(1+u)du = \frac{1}{x^{2}}dx\end{matrix} \right.}\)

janusz47 pisze: \(\displaystyle{ u + xu' = \frac{1}{1-u} \left( -1 +\frac{1}{xu}\right).}\)

\(\displaystyle{ xu' =\frac{ -(1+u +u^{2})xu +1}{(1+u)xu},}\)

\(\displaystyle{ u' = \frac{-(1 + u +u^{2})xu +1}{(1+u)x^{2}u}= \frac{-(1+u+u^{2}}{(1+u)x}+\frac{1}{u(1+u)x^{2}}.}\)

\(\displaystyle{ \left \{ \begin{matrix} \frac{-1}{2}\frac{(1+u)du}{(1+u +u^{2})} = \frac{1}{x}dx,\\

-\frac{1}{2}u(1+u)du = \frac{1}{x^{2}}dx\end{matrix} \right.}\)

Niestety jest kilka literówek:
\(\displaystyle{ u + xu' = \frac{1}{1-u} \left( -1 +\frac{1}{xu}\right).}\)
\(\displaystyle{ xu' =\frac{ -(1+u \magenta -u^{2}\black)xu +1}{(1\magenta -u\black)xu},}\)
\(\displaystyle{ u' = \frac{-(1 + u \magenta -u^{2}\black)xu +1}{(1\magenta -u\black)x^{2}u}= \frac{-(1+u\magenta -u^{2}\black)}{(1\magenta -u\black)x}+\frac{1}{u(1\magenta -u\black)x^{2}}.}\)
i niejasność: Dlaczego zakładasz że każdy ze składników ostatniej sumy to połowa \(\displaystyle{ u'}\) ?


Ps
Zastanawia mnie czy równanie nie powinno wyglądać tak:
\(\displaystyle{ y' = -\frac{1}{1- \frac{y}{x} } + \frac{x}{y- \frac{y^2}{x} }}\)
Czy znana jest odpowiedź do tego zadania?

\(\displaystyle{ y' = -\frac{1}{1- \frac{y}{x} } + \frac{1}{y- \frac{y^2}{x} }\\
y'=- \frac{xy}{y\left( x-y\right) } +\frac{x}{y\left( x-y\right) }\\
y'=-\frac{x\left( y-1\right) }{y\left( x-y\right) }\\
y'+\frac{x\left( y-1\right) }{y\left( x-y\right) }=0\\
x\left( y-1\right) \mbox{d}x +y\left( x-y\right) \mbox{d}y=0\\
x\left( y-1\right)\frac{\mbox{d}x}{\mbox{d}y}+y\left( x-y\right)=0\\}\)

Jezeli podstawimy \(\displaystyle{ x=\frac{1}{u}}\)
to otrzymamy rownanie ktore jest nazywane przez Maple rownaniem Abela

kerajs, twoja propozycja prowadzi do rownania jednorodnego
z ktorym nie powinno byc problemow

mariuszm pisze: kerajs, twoja propozycja prowadzi do rownania jednorodnego
z ktorym nie powinno byc problemow

I właśnie dlatego zastanawiam się czy autor tematu prawidłowo przepisał równanie lub czy nie ma błędu w zbiorze zadań (a wtedy zróżniczkowanie odpowiedzi ujawniłoby tę pomyłkę). Nie byłby to pierwszy przypadek gdy brak/zmiana znaczka, kreseczki itp, mocno skomplikował równanie.

Gdy użytkownik profiles/125808.htm
dał ją na innym forum pomyślałem o dwóch rzeczach

1. Podstawienie
2. Czynnik całkujący

\(\displaystyle{ Pleft( x,y
ight) mbox{d}x +Qleft( x,y
ight) mbox{d}y=0}\)

Niech
\(\displaystyle{ x=Xleft( xi,eta
ight)\y=Yleft(xi,eta
ight)}\)

Po podstawieniu otrzymujemy

\(\displaystyle{ left[ Pleft( Xleft( xi,eta
ight),Yleft( xi,eta
ight)
ight) frac{ partial X}{ partial xi} +Qleft( Xleft( xi,eta
ight),Yleft( xi,eta
ight)
ight) frac{ partial Y}{ partial xi}
ight] mbox{d}xi+\left[ Pleft( Xleft( xi,eta
ight),Yleft( xi,eta
ight)
ight) frac{ partial X}{ partial eta} +Qleft( Xleft( xi,eta
ight),Yleft( xi,eta
ight)
ight) frac{ partial Y}{ partial eta}
ight] mbox{d}eta=0}\)

Czynnik całkujący
a) o rozdzielonych zmiennych

\(\displaystyle{ frac{ partial P}{ partial y}- frac{ partial Q}{ partial x}=Qleft( x,y
ight)fleft( x
ight)-Pleft( x,y
ight)gleft( y
ight) \
egin{cases} frac{ mbox{d}varphi}{varphi}=fleft( x
ight) mbox{d}x \ frac{ mbox{d}psi}{psi}=gleft( y
ight) mbox{d}y end{cases} \
muleft( x,y
ight)=varphileft( x
ight)psileft( y
ight)}\)

b) funkcja złożona dwóch zmiennych

Niech

\(\displaystyle{ frac{ frac{ partial P}{ partial y} - frac{ partial Q}{ partial x} }{ frac{ partial omega}{ partial x}Q-frac{ partial omega}{ partial y}P }=varphileft( omega
ight) wedge frac{ partial omega}{ partial x}Q-frac{ partial omega}{ partial y}P
eq 0}\)

\(\displaystyle{ frac{ mbox{d}mu}{mu}=varphileft( omega
ight) mbox{d}omega\
muleft( x,y
ight)=Phileft( omegaleft( x,y
ight)
ight)\}\)



Skoro po podstawieniu otrzymujemy wg Maple równanie Abela to wątpię żeby udało się
względnie łatwo coś znaleźć

mam takie samo zadanie i odpowiedź do niego to \(\displaystyle{ x^{2}+y^{2}=C}\). Pomoże wam to coś ?

Pewnie że tak.
\(\displaystyle{ x^{2}+y^{2}=C \ |'_x\\
2x+2yy'=0\\
y'= \frac{-x}{y} \\
y'= \frac{-x(1- \frac{y}{x} )}{y(1- \frac{y}{x} )}\\
y'= \frac{-x+ y }{y(1- \frac{y}{x} )}\\
y'= \frac{-x}{y(1- \frac{y}{x} )}+ \frac{1}{1- \frac{y}{x} }\\
y'= \frac{1}{1- \frac{y}{x} }-\frac{x}{y(1- \frac{y}{x} )}}\).

Ale gdyby odpowiedzią byłoby:
\(\displaystyle{ x^{2}-y^{2}=C \ |'_x\\
2x-2yy'=0\\
y'= \frac{x}{y} \\
y'= \frac{x(1- \frac{y}{x} )}{y(1- \frac{y}{x} )}\\
y'= \frac{x- y }{y(1- \frac{y}{x} )}\\
y'= \frac{x}{y(1- \frac{y}{x} )}- \frac{1}{1- \frac{y}{x} }\\
y'= \frac{-1}{1- \frac{y}{x} }+\frac{x}{y(1- \frac{y}{x} )}}\).

Lekka konsternacja, nieprawdaż?

Ps
Co to za zbiór zadań?

Nie mam w sumie bladego pojęcia, prowadzący zajęcia z RRIR udostępnił nam taki mały zbiór z zadankami raczej wybieranymi indywidualnie przez niego albo wymyślanymi przez niego więc mógł gdzieś błąd popełnić przy przepisywaniu. W każdym razie po wstawieniu tam x-a zadanie robi się na tyle trywialne, że wstyd je tu wstawiać

\(\displaystyle{ y' = -\frac{1}{1- \frac{y}{x} } + \frac{1}{y- \frac{y^2}{x} }\\
\frac{ \mbox{d}y}{ \mbox{d}x }=-\frac{xy}{yx\left(1-\frac{y}{x} \right) }+\frac{1}{y\left( 1-\frac{y}{x}\right) }\\
\frac{ \mbox{d}y}{ \mbox{d}x }=-\frac{xy}{yx\left(1-\frac{y}{x} \right)}+\frac{x}{xy\left( 1-\frac{y}{x}\right) }\\
\frac{ \mbox{d}y}{ \mbox{d}x }=-\frac{x\left( y-1\right) }{y\left( x-y\right) }\\
\frac{ \mbox{d}y}{ \mbox{d}x }+\frac{x\left( y-1\right) }{y\left( x-y\right) }=0\\
x\left( y-1\right)\mbox{d}x+y\left( x-y\right) \mbox{d}y=0\\
x=\frac{1}{u}\\
y=v\\
\left[ \frac{1}{u}\left(v-1 \right)\left( -\frac{1}{u^2}\right)+v\left( \frac{1}{u}-v \right) \cdot 0 \right] \mbox{d}u+\\
\left[\frac{1}{u}\left(v-1 \right) \cdot 0+v\left( \frac{1}{u}-v \right) \cdot 1 \right]dv=0\\
-\frac{v-1}{u^3} \frac{ \mbox{d}u}{ \mbox{d}v}+v\left( \frac{1}{u}-v \right)=0\\
\frac{ \mbox{d}u}{ \mbox{d}v}-\frac{v-uv^2}{u}\frac{u^3}{v-1}=0\\
\frac{ \mbox{d}u}{ \mbox{d}v}+\frac{v^2}{v-1}u^3-\frac{v}{v-1}u^2=0\\}\)

Maple twierdzi że to jest równanie Abela

Równanie to nie spełnia warunku aby sprowadzić je do rozdzielonych zmiennych
Do Bernoulliego też nie da się go sprowadzić

... 7429/#sec2