Całka z pierwiastka funkcji kwadratowej

Całkowalność. Metody i obliczanie całek oznaczonych i nieoznaczonych. Pole pod wykresem. Równania i nierówności z wykorzystaniem rachunku całkowego. Wielowymiarowa całka Riemanna - w tym pola i objętości figur przestrzennych.
Awatar użytkownika
sparrow_88
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 44
Rejestracja: 29 lis 2006, o 17:35
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Błaszki\Wrocław
Podziękował: 15 razy
Pomógł: 1 raz

Całka z pierwiastka funkcji kwadratowej

Post autor: sparrow_88 » 8 wrz 2007, o 19:39

Sprawa ma się tak:
\(\displaystyle{ \int \frac{3x+2}{\sqrt{x^2-5x+19}}dx}\)
i niby rozwiązałem ale coś jest nie tak i wiem to na pewno ??: bo podstawiam przykładowy argument pod x tak jak do wyniku sugerowanego tak jak do mojego rozwiązania, wartość powinna być taka sama a nie jest
sugerowane rozwiązanie:
\(\displaystyle{ 3\sqrt{x^2-5x+19}+\frac{19}{2}ln(x-\frac{5}{2}+\sqrt{x^2-5x+19})+C}\)

przedstawię całość mojego rozwiązania bo tylko w tedy będziecie mogli znaleźć błąd:

1. zaczynam od pierwszego podstawienia Eulera \(\displaystyle{ \sqrt{x^2-5x+19}=t-x}\) z czego po przekształceniach mam: \(\displaystyle{ x=\frac{t^2-19}{2t-5}}\)
2. różniczkuję stronami, co daje \(\displaystyle{ dx=\frac{2t^2-10t+38}{(2t-5)^2}dt}\)
3. podstawiam \(\displaystyle{ \int \frac{\frac{3t^2-57}{2t-5}+\frac{4t-10}{2t-5}}{\frac{2t^2-5t}{2t-5}-\frac{t^2-19}{2t-5}}\frac{2t^2-10t+38}{(2t-5)^2}dt}\) z czego wynika \(\displaystyle{ \int \frac{6t^2+8t-134}{4t^2-10t+25}dt}\)
4. dzielę licznik przez mianownik \(\displaystyle{ 6t^2+8t-134=\frac{3}{2}(4t^2-20t+25)+38t-171\frac{1}{2}}\) co daje dwie całeczki \(\displaystyle{ \frac{3}{2}\int dt+\int\frac{38t-171\frac{1}{2}}{(2t-5)^2}dt}\)
5. pierwszej może nie będę omawiał drugą rozbijam przez rozkład na ułamki proste \(\displaystyle{ \frac{A}{2t-5}+\frac{B}{(2t-5)^2}}\) u mnie \(\displaystyle{ A=19}\) a \(\displaystyle{ B=-76\frac{1}{2}}\)
6. \(\displaystyle{ \int \frac{19}{2t-5}dt=\frac{19}{2}\int \frac{1}{t-\frac{5}{2}}dt}\) po odpowiednim podstawieniu \(\displaystyle{ \int \frac{19}{2t-5}dt=\frac{19}{2}ln(t-\frac{5}{2})+C=\frac{19}{2}ln(x-\frac{5}{2}+\sqrt{x^2-5x+19})+C}\)
7. \(\displaystyle{ \int\frac{-76\frac{1}{2}}{(2t-5)^2}dt}\) i tak jak ostatnio po podstawieniu, \(\displaystyle{ u=2t-5}\) i dalej \(\displaystyle{ -76\frac{1}{2}\int \frac{1}{u^2}\frac{du}{2}}=38\frac{1}{4}u^{-1}+C=38\frac{1}{4}\frac{1}{2t-5}+C=38\frac{1}{4}\frac{1}{2\sqrt{x^2-5x+19}+2x-5}}\)
8. reasumując, ja kończę zadanie z wynikiem:
\(\displaystyle{ \int \frac{3x+2}{\sqrt{x^2-5x+19}}dx=}\)
\(\displaystyle{ =\frac{3}{2}\sqrt{x^2-5x+19}+\frac{3}{2}x+\frac{19}{2}ln(x-\frac{5}{2}+\sqrt{x^2-5x+19})+38\frac{1}{4}\frac{1}{2x-\frac{5}{2}+2 \sqrt{x^2-5x+19}}}\)

Czyli tak jakby moje rozumowanie było poprawne tylko w części, bo tylko połowicznie mam dobry wynik proszę więc niech ktoś znajdzie trochę czasu i sił by przebrnąć przez to i znaleźć błąd lub naprowadzić na poprawne, w całości, rozwiązanie
ja już sporo czasu spędziłem nad tym problemem, i jak widać bezowocnie

Uprzedzając, w pierwszej całce w siódmym podpunkcie z mianownika z pod potęgi można wyciągnąć 2 ale to i tak nic nie zmieni, sprawdzałem. No i jeszcze jedno, na razie nie wiem jak działają funkcje hiperboliczne więc ten sposób mi nie pomoże.

luka52
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 8602
Rejestracja: 1 maja 2006, o 20:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 47 razy
Pomógł: 1817 razy

Całka z pierwiastka funkcji kwadratowej

Post autor: luka52 » 8 wrz 2007, o 19:58

A czy nie lepiej zamiast podstawienia Eulera do takiej całki lepiej zastosować metodę współczynników nieoznaczonych http://pl.wikipedia.org/wiki/Metoda_wsp ... znaczonych
Co prawda i tak trzeba będzie zastosować podstawienie Eulera, jednak rachunki będą trochę prostsze.

Awatar użytkownika
max
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 3306
Rejestracja: 10 gru 2005, o 17:48
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Lebendigentanz
Podziękował: 37 razy
Pomógł: 778 razy

Całka z pierwiastka funkcji kwadratowej

Post autor: max » 8 wrz 2007, o 20:05

A sprawdzić poprawność można zawsze różniczkując otrzymany wynik..

Awatar użytkownika
Calasilyar
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 2656
Rejestracja: 2 maja 2006, o 21:42
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław/Sieradz
Podziękował: 29 razy
Pomógł: 410 razy

Całka z pierwiastka funkcji kwadratowej

Post autor: Calasilyar » 8 wrz 2007, o 20:06

A po co z podstawienia Eulera jak można łatwiej?
\(\displaystyle{ \int \frac{3x+2}{\sqrt{x^{2}-5x+19}}dx=\frac{3}{2}\int \frac{2x-5}{\sqrt{x^{2}-5x+19}}dx + \frac{19}{2}\int \frac{1}{\sqrt{x^{2}-5x+19}}dx=\\=\frac{3}{2}\int \frac{2x-5}{\sqrt{x^{2}-5x+19}}dx + \frac{19}{2}\int \frac{dx}{\sqrt{(x-\frac{5}{2})^{2}+\frac{51}{4}}}=3\int \frac{2x-5}{2\sqrt{x^{2}-5x+19}}dx + \frac{19}{2}\ln{\left( (x-\frac{5}{2})+\sqrt{(x-\frac{5}{2})^{2}+\frac{51}{4}\right) }}=3\sqrt{x^{2}-5x+19} + \frac{19}{2}\ln{\left( (x-\frac{5}{2})+\sqrt{x^{2}-5x+19}\right) }+C}\)

czyli się zgadza zresztą podstawienia Eulera powinno sie stosować jako ostatnią deske ratunku, bo ogólnie rzecz biorąc tylko można sie przez nie zagrajdać

[ Dodano: 8 Września 2007, 20:08 ]
i jeszcze jedno: oczywiście w ln są moduły odpowiednich argumentów

Awatar użytkownika
sparrow_88
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 44
Rejestracja: 29 lis 2006, o 17:35
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Błaszki\Wrocław
Podziękował: 15 razy
Pomógł: 1 raz

Całka z pierwiastka funkcji kwadratowej

Post autor: sparrow_88 » 10 wrz 2007, o 18:59

no dokładnie o to chodziło dodaję zasłużony punkt, studencie

ODPOWIEDZ