Matematyka.pl

\(\displaystyle{ \lim_{(x,y) \to (0,0) } (x^2 + y^2)^{xy}}\) wolfram pokazuje mi granicę równą \(\displaystyle{ 0}\), ale przecież przy podciagach \(\displaystyle{ x = \frac{1}{n} \wedge y = \frac{1}{n}}\) wychodzi nam granica równa \(\displaystyle{ 1}\). Jakaś podpowiedź?

Podpowiedź: wolfram nie jest nieomylny. Więcej wiary w siebie, nie ma to jak człowiek z kartką i czymś do pisania, albo z samym umysłem.

Bardziej konkretna podpowiedź:
dla \(\displaystyle{ (x,y) \neq (0,0)}\) możemy napisać

\(\displaystyle{ (x^2+y^2)^{xy}=\exp\left( xy \ln(x^2+y^2)\right)}\)
i spróbuj pokazać, że \(\displaystyle{ \lim_{(x,y) \to (0,0)}xy\ln(x^2+y^2)=0}\), a następnie wykorzystaj ciągłość logarytmu.

Można też przejść na współrzędne biegunowe, ale bez logarytmowania tam też raczej się nie obejdzie.

\(\displaystyle{ 0 \le |xy\ln (x^2 + y^2)| \le |xy\ln (x^2)| = |2xy\ln (x)| = \left| 2y \frac{\ln (x)}{ \frac{1}{x} }\right| = \left| 2y \frac{-\ln (x^{-1})}{ \frac{1}{x} }\right| = \left| -2y \frac{\ln (\frac{1}{x})}{ \frac{1}{x} }\right|}\)

niech \(\displaystyle{ t = \frac{1}{x} \wedge y \in \RR}\) wtedy \(\displaystyle{ \lim_{t \to \infty } -2y \frac{\ln (t)}{t} = 0}\) i dowiedliśmy prawdziwości naszej granicy.

Czy to jest koniec naszego zadania i granica jest równa \(\displaystyle{ 1}\)?

i dowiedliśmy prawdziwości naszej granicy.

Jak dla mnie to jest błąd stylistyczny (ale pewnie to szczegół). Dowieść można prawdziwości jakiejś tezy/lematu/własności i tak dalej, granicę można obliczyć, wyznaczyć, bądź też udowodnić, że jest ona równa takiej a takiej liczbie (albo nie istnieje). Nie ma "dowodu prawdziwości granicy".
Poza tym dobrze jest zaznaczyć, że nierówność
\(\displaystyle{ \left| xy\ln(x^2+y^2)\right| \le \left| xy \ln x^2\right|}\) jest prawdziwa dla dostatecznie małych (co do modułu) \(\displaystyle{ x,y}\): jeśli \(\displaystyle{ x^2 \ge 1}\), to jest ewidentnie nieprawdziwa, bo wówczas \(\displaystyle{ |\ln x^2|=\ln x^2}\) oraz \(\displaystyle{ |\ln (x^2+y^2)|=\ln(x^2+y^2)}\), a funkcja logarytm naturalny jest ściśle rosnąca w swojej dziedzinie. Natomiast prawdą jest, że jeśli \(\displaystyle{ x^2+y^2 \le 1}\), to
\(\displaystyle{ |xy \ln(x^2+y^2)| \le |xy \ln x^2|}\). Chyba studiujesz na UW, więc jeśli u mnie trochę pilnowano takich rzeczy, to u Ciebie tym bardziej, lepiej uważać.

Ponadto dalej przechodzisz do granicy iterowanej, a to chyba nie za dobrze. Oczywiście, skoro
\(\displaystyle{ \lim_{x \to 0}\left| x \ln x^2\right|=0}\) (co poprawnie uzasadniłeś), to także
\(\displaystyle{ \lim_{(x,y) \to (0,0)}\left| xy \ln x^2\right|=0}\), ale to bezpieczniej chyba skorzystać z twierdzenia o granicy iloczynu. Sam pomysł z podstawieniem \(\displaystyle{ t=\frac 1 x}\) itd. jest OK.
Owszem, granica jest równa \(\displaystyle{ 1}\).