Matematyka.pl

\(\displaystyle{ \lim_{ (x,y)\to(0,0) } \frac{x^3 + y^3}{x^2 + y^2}}\)

dla mnie to ewidentnie dąży do 0, bo licznik ma wyższą potęgę niż mianownik dlatego też nie będę wymyślał podciągów. Jeżeli chodzi o samo obliczenie takiej granicy, a nie udowodnienie, że nie istnieje ma jakiś schemat?

Widzę na przykład, że funkcja jest symetryczna, a że dążymy do \(\displaystyle{ 0,0}\), więc możemy policzyć funkcję w punkcie postaci\(\displaystyle{ (a,a) \Rightarrow x=y=a}\)

wtedy nasza funkcja ma postać \(\displaystyle{ \frac{a^3 + a^3}{a^2 + a^2} = a}\)

zatem \(\displaystyle{ lim_{ (x,y)\to(0,0) } \frac{x^3 + y^3}{x^2 + y^2} = \lim_{a \to 0} a = 0}\)

Robię to dobrze?

Symetria nie ma tu chyba nic do rzeczy. Gdybyś wziął \(\displaystyle{ x=y=a}\) i szedł tylko z tym do \(\displaystyle{ 0}\), to tak, jakbyś na płaszczyźnie szedł tylko po jednej prostej: \(\displaystyle{ y=x}\), a masz obliczyć granicę dla każdej spośród continuum prostych i jeszcze wszystkich pozostałych krzywych.

Raczej polecam jakieś szacowanie od góry i od dołu, albo przejście na współrzędne biegunowe.

Wydaje mi się że symetria to jeszcze za mało do formalnego dowodu bo te 2 ciągi mogą być różne od siebie a ty sprawdzasz dowolne ale takie same. Jeśli się mylę to proszę poprawcie mnie ale myślę że można by to było zrobić przechodząc na współrzędne biegunowe.

\(\displaystyle{ \lim_{(x,y) \to (0,0)} \frac{x^3+y^3}{x^2+y^2}= \lim_{r \to 0} \frac{r^3\left( \cos^3\phi+\sin^3\phi\right) }{r^2}= \lim_{r \to 0} r\left( \cos^3\phi+\sin^3\phi\right)=0}\)

ostatnia równość uzasadniam tym że :

\(\displaystyle{ -2r\le r\left( \cos^3\phi+\sin^3\phi\right) \le 2r}\)

A bez współrzędnych biegunowych (chociaż to poprawna i dość prosta metoda) można tak:
\(\displaystyle{ 0 \le \left| \frac{x^3 + y^3}{x^2 + y^2}\right| \le \frac{|x|^3}{x^2+y^2}+ \frac{|y|^3}{x^2+y^2} \le \frac{|x|^3}{|x|^2} + \frac{|y|^3}{|y|^2}=|x|+|y| \rightarrow 0}\)
i twierdzenie o trzech funkcjach.