Matematyka.pl

Rozwiąż nierówność:

\(\displaystyle{ 1+ \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + ... + \frac{1}{n}>10}\)

Prosiłbym o jakąś podpowiedź.

Jest takie fajne twierdzenie, że \(\displaystyle{ \lim_{n \rightarrow \infty}\left( H_n - \log(n) \right)=\gamma}\), gdzie \(\displaystyle{ H_n=\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k}}\) oraz \(\displaystyle{ \gamma \in (0,1)}\) jest pewną stałą zwaną stałą Eulera.

W jaki sposób to twierdzenie pomaga rozwiązać nierówność, bo nie za bardzo rozumiem?

Chyba trafię w rozwiązanie jak strzelę \(\displaystyle{ n=\left\lfloor e^{e^{e^{e^{e^{e^e}}}}}\right\rfloor}\)

Że dla dużych \(\displaystyle{ n}\) można oszacować że :

\(\displaystyle{ \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k} \approx \ln n+\gamma+ \frac{1}{2n}- \frac{1}{12n^2}}\)

a mniej dokładnie że to tylko \(\displaystyle{ \ln n+\gamma}\)

\(\displaystyle{ \ln n+\gamma \approx 10}\)

\(\displaystyle{ \ln n \approx 10-\gamma}\)

\(\displaystyle{ n \approx e^{10-\gamma} \approx 12367}\)

przy pomocy komputera sprawdziłem że \(\displaystyle{ \sum_{}^{} =9.99996214792}\) całkiem blisko prawdopodobnie nie można ufać kilku ostatnim liczbą ale i tak fajnie. Niestety nie mam pomysłu analitycznego.

Moim zdaniem wystarczy tu szacowanie:
\(\displaystyle{ \frac{1}{n+1}< \ln\left( 1+\frac 1 n\right) < \frac{1}{n}}\),
które zresztą chyba jest używane w dowodzie (przynajmniej tym, który ja poznałem) istnienia tej granicy \(\displaystyle{ \gamma}\).
Stąd mamy bodajże (mogłem się pomylić w mnożeniu; korzystamy z tego, że suma logarytmów to logarytm iloczynu - dla dodatnich argumentów, oczywiście)
\(\displaystyle{ H_{n}-1 < \ln(n)<H_{n-1}}\)
i warto sprawdzić, dla jakich \(\displaystyle{ n}\) mamy \(\displaystyle{ \ln(n)<10}\), a dla jakich nierówność przeciwną, wyjdzie zdaje się to, co u Pana \(\displaystyle{ a4karo}\)
EDIT: OK, no wyjdzie coś innego, przepraszam.

Szczerze, myślałem, że to będzie o wiele łatwiejsze.
Ogólnie jest to zadanie z informatyki i proszę o pomoc tutaj 412467.htm.

W takim razie to jest dużo łatwiejsze (chociaż nienawidzę programowania... o nie, jak tam moje zadania na obiektowe 2 ).

Wystarczy chyba zrobić to, co napisał Pan szw1710, a jeśli by się psuło (co może być efektem dodawania małych wartości typu float/double do dużych), to poczytaj o algorytmie Kahana.