Ogólny wyraz ciągu

Dział przeznaczony przede wszystkim dla licealistów. Róznica i iloraz ciągu. Suma ciągu arytemtycznego oraz geometrycznego.
mkd
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 5
Rejestracja: 8 wrz 2007, o 18:22
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 1 raz

Ogólny wyraz ciągu

Post autor: mkd » 8 wrz 2007, o 18:29

Czy ciąg \(\displaystyle{ 1,-2, 3,-4, 5,-6, ...}\) da się opisać nierekurencyjnie? Jeśli tak to jak?
Rekrutacja Instytut Matematyczny, Uniwersytet Wrocławski (gif)

Awatar użytkownika
max
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 3306
Rejestracja: 10 gru 2005, o 17:48
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Lebendigentanz
Podziękował: 37 razy
Pomógł: 778 razy

Ogólny wyraz ciągu

Post autor: max » 8 wrz 2007, o 19:24

\(\displaystyle{ a_{n} = (-1)^{n + 1}n}\)

mkd
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 5
Rejestracja: 8 wrz 2007, o 18:22
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 1 raz

Ogólny wyraz ciągu

Post autor: mkd » 8 wrz 2007, o 19:55

Dzieki bardzo. Mam jeszcze pytanie: czy każdy ciąg opisany rekurencyjnie da sie opisać nierekurencyjnie?

Awatar użytkownika
max
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 3306
Rejestracja: 10 gru 2005, o 17:48
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Lebendigentanz
Podziękował: 37 razy
Pomógł: 778 razy

Ogólny wyraz ciągu

Post autor: max » 8 wrz 2007, o 20:02

mkd pisze:Mam jeszcze pytanie: czy każdy ciąg opisany rekurencyjnie da sie opisać nierekurencyjnie?
Zależy co rozumiesz przez opisanie nierekurencyjne... w każdym razie znalezienie takiego wzoru jawnego dla ciągu określonego rekurencyjnie daleko nie zawsze jest tak łatwe jak w tym przypadku.

Piotr Rutkowski
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 2234
Rejestracja: 26 paź 2006, o 18:08
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 22 razy
Pomógł: 389 razy

Ogólny wyraz ciągu

Post autor: Piotr Rutkowski » 8 wrz 2007, o 20:16

Tak jak max powiedział. Niektóre są bardzo skomplikowane, inne mniej, niektóre w ogóle nierozwiązywalne. Na pewno da się rozwiązać dowolną rekurencję liniową, a otym więcej przeczytasz na:
http://matematyka.pl/viewtopic.php?t=25578

mkd
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 5
Rejestracja: 8 wrz 2007, o 18:22
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 1 raz

Ogólny wyraz ciągu

Post autor: mkd » 8 wrz 2007, o 20:40

max pisze:Zależy co rozumiesz przez opisanie nierekurencyjne...
Przez opisanie nierekurencyjne rozumiem nie odwoływanie sie do \(\displaystyle{ a_{n-1}}\) w wzorze ogólnym na \(\displaystyle{ a_{n}}\).
polskimisiek pisze:niektóre w ogóle nierozwiązywalne
Czyli nie mają rozwiązania czy nie potrafimy go znaleść?

Przepraszam, za takie banalne pytania ale matematyką interesuje się od niedawna, mam duuże braki i w ogóle zastanawiam się jak mi się udawało zdawać z klasy do klasy. Dopiero ostatnio mnie jakoś naszło na liczenie. Pozdrawiam, m.

Piotr Rutkowski
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 2234
Rejestracja: 26 paź 2006, o 18:08
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 22 razy
Pomógł: 389 razy

Ogólny wyraz ciągu

Post autor: Piotr Rutkowski » 8 wrz 2007, o 20:44

Mówię nierozwiązywalne ciągi rekurencyjne, czyli takie, że nie da się znaleźć wyrazu ogólnego, ale z takimi się raczej nie spotkasz. Proponuję skupić się na rekurencjach liniowych

mkd
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 5
Rejestracja: 8 wrz 2007, o 18:22
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 1 raz

Ogólny wyraz ciągu

Post autor: mkd » 8 wrz 2007, o 21:06

Co to znaczy, że rekurencja jest liniowa?

Piotr Rutkowski
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 2234
Rejestracja: 26 paź 2006, o 18:08
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 22 razy
Pomógł: 389 razy

Ogólny wyraz ciągu

Post autor: Piotr Rutkowski » 8 wrz 2007, o 21:07

Przeczytaj wszystko w linku do kompendium, który Ci podałem.

mkd
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 5
Rejestracja: 8 wrz 2007, o 18:22
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 1 raz

Ogólny wyraz ciągu

Post autor: mkd » 8 wrz 2007, o 21:10

O rany.. No rzeczywiście! Dziękuję!

Awatar użytkownika
max
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 3306
Rejestracja: 10 gru 2005, o 17:48
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Lebendigentanz
Podziękował: 37 razy
Pomógł: 778 razy

Ogólny wyraz ciągu

Post autor: max » 8 wrz 2007, o 22:04

mkd pisze:
max pisze:Zależy co rozumiesz przez opisanie nierekurencyjne...
Przez opisanie nierekurencyjne rozumiem nie odwoływanie sie do \(\displaystyle{ a_{n-1}}\) w wzorze ogólnym na \(\displaystyle{ a_{n}}\).
No jeszcze wypadałoby określić czym (jakimi działaniami, funkcjami) możemy się posługiwać, aby wyrazić ten wzór ogólny.
polskimisiek pisze:Na pewno da się rozwiązać dowolną rekurencję liniową
To ja chętnie zobaczyłbym ogólną metodę rozwiązywania rekurencji liniowej postaci:
\(\displaystyle{ a_{n + k + 1} = c_{k}a_{n + k} + c_{k - 1}a_{n+ k - 1} + \ldots + c_{0}a_{n} + f(n)}\)
gdzie \(\displaystyle{ k}\) jest dowolną ustaloną liczbą naturalną, \(\displaystyle{ (c_{0}, \ldots , c_{k})}\) jest dowolnym ciągiem liczb rzeczywistych a \(\displaystyle{ f}\) jest dowolną funkcją określoną na zbiorze \(\displaystyle{ \mathbb{N}}\) i wyrażającą się w postaci skończonej przez funkcje elementarne.
Albo chociaż dowód wspomnianej rozwiązywalności.

Piotr Rutkowski
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 2234
Rejestracja: 26 paź 2006, o 18:08
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 22 razy
Pomógł: 389 razy

Ogólny wyraz ciągu

Post autor: Piotr Rutkowski » 9 wrz 2007, o 00:04

max pisze:
mkd pisze:
max pisze:Zależy co rozumiesz przez opisanie nierekurencyjne...
Przez opisanie nierekurencyjne rozumiem nie odwoływanie sie do \(\displaystyle{ a_{n-1}}\) w wzorze ogólnym na \(\displaystyle{ a_{n}}\).
No jeszcze wypadałoby określić czym (jakimi działaniami, funkcjami) możemy się posługiwać, aby wyrazić ten wzór ogólny.
polskimisiek pisze:Na pewno da się rozwiązać dowolną rekurencję liniową
To ja chętnie zobaczyłbym ogólną metodę rozwiązywania rekurencji liniowej postaci:
\(\displaystyle{ a_{n + k + 1} = c_{k}a_{n + k} + c_{k - 1}a_{n+ k - 1} + \ldots + c_{0}a_{n} + f(n)}\)
gdzie \(\displaystyle{ k}\) jest dowolną ustaloną liczbą naturalną, \(\displaystyle{ (c_{0}, \ldots , c_{k})}\) jest dowolnym ciągiem liczb rzeczywistych a \(\displaystyle{ f}\) jest dowolną funkcją określoną na zbiorze \(\displaystyle{ \mathbb{N}}\) i wyrażającą się w postaci skończonej przez funkcje elementarne.
Albo chociaż dowód wspomnianej rozwiązywalności.
OK, masz tu rację, ale czy na pewno postać, którą podałeś to rekurencja liniowa?

Awatar użytkownika
max
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 3306
Rejestracja: 10 gru 2005, o 17:48
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Lebendigentanz
Podziękował: 37 razy
Pomógł: 778 razy

Ogólny wyraz ciągu

Post autor: max » 9 wrz 2007, o 10:55

Liniowe równanie rekurencyjne k-tego stopnia, niejednorodne.

ODPOWIEDZ