Matematyka.pl

Czy jest jakiś sposób na szukanie podgrup? Mam powiedzmy \(\displaystyle{ \ZZ^*_{24}}\), tutaj jeszcze łatwo, bo podgrupy będą miały mało elementów, ale co jeśli miałbym to zrobić w \(\displaystyle{ \ZZ^*_{52}}\)? Sprawdzanie po kolei, które elementy mogą tworzyć grupę jest uciążliwe.

te grupy to elementy względnie pierwsze z n

Musisz je wypisać i przeanalizować strukturę tej grupy a więc np. jakie poszczególne elementy mają rzędy...

np: \(\displaystyle{ \ZZ_{24}^*=\left\{ 1,5,7,11,13,17,19,23\right\}}\)

Grupa ma 8 elementów jest to grupa abelowa szukaj jej podgrup rzędu dwa i rzędu cztery...
co nie jest nieludzkim wyczynem raczej.

np \(\displaystyle{ 5^2=25=1}\)

jak widać masz już podgrupę rzędu dwa.

I o ile umiem liczyć wszystkie elementy są rzędu dwa co daje sporo do myślenia

No właśnie mi nie bardzo daje do myślenia. Ćwiczenia są dalej niż wykład i jest to trochę problematyczne.

Masz podgrupę rzędu cztery:

\(\displaystyle{ \left\{ 1,5,7,11\right\}}\)

i nie tylko np:

\(\displaystyle{ \left\{ 1,11,13,23\right\}}\)

\(\displaystyle{ \left\{ 1,11,17,19\right\}}\)


i siedem podgrup rzędu dwa

co jeszcze nie wiesz?

Może źle się wyraziłem, ale zadanie mam zrobione. Chodzi mi czy jest jakiś szybki sposób na wyznaczenie podgrup. Gdyby miał więcej elementów np. podgrupę rzędu dwanaście grupy \(\displaystyle{ \ZZ^*_{52}}\) to czy da się to jakoś szybko zrobić?

Na ilosc grup konkretnego rzędu masz tw sylowa. Jakie mogą to być grupy to musisz wiedziec ze rzad podgrupy jest dzielnikiem rzedu grupy. Jakie elementy tworza podgrupe musisz pamietac, ze rzad elementu dzieli rzad grupy.
Grupa rzędu \(\displaystyle{ 4}\) może być tylko izomorficzna z \(\displaystyle{ \ZZ_4}\) lub \(\displaystyle{ \ZZ_2 \times \ZZ_2}\).

No tak grupa czwórkowa Kleina. Czy mógłbyś przykładowo wyznaczyć podgrupę rzędu \(\displaystyle{ 12}\) grupy \(\displaystyle{ \ZZ^*_{52}}\)?

Najpierw wypisz elementy grupy \(\displaystyle{ Z_{52}^*}\)

I jakie masz przesłanki, że istnieje w niej podgrupa rzędu \(\displaystyle{ 12}\)

Rząd grupy \(\displaystyle{ \ZZ^*_{52}}\) to \(\displaystyle{ \phi (52)=52 \cdot (1- \frac{1}{2} ) \cdot (1- \frac{1}{13})=24}\), więc istnieją podgrupy o:
- jednym
- dwóch
- trzech
- czterech
- sześciu
- ośmiu
- dwunastu
- dwudziestu czterech elementach

siódemka jest generatorem grupy rzędu \(\displaystyle{ 12}\)

Ok tylko jak Ty to znalazłeś (tak szybko)? Podnosiłeś wszystkie elementy do dwunastej potęgi?

Bardzo prosto pani w szkole mnie tego nauczyła biorę \(\displaystyle{ 7}\)

\(\displaystyle{ 7 \cdot 7=49}\)

\(\displaystyle{ 49 \cdot 7=343=31}\)

\(\displaystyle{ 7 \cdot 31=217=9}\)

oczywiście wszystko to \(\displaystyle{ \mod 52}\)

..........................................

itd jak widać mnożenie nie takie straszne...

No nie straszne, ale chodzi mi o to czy sprawdzałeś po kolei elementy?

jasne mimo mojej ograniczoności wszystko sprawdziłem

To dla liczniejszych grup musi to być problematyczne.