Matematyka.pl

1. Wykaż, że jeśli \(\displaystyle{ G=\left\{ g_1 , g_2 , ... , g_n\right\}}\) jest abelową grupą rzędu \(\displaystyle{ n}\), to element \(\displaystyle{ x=g_1g_2...g_n}\) spełnia równanie \(\displaystyle{ x^2=e}\). Co można powiedzieć o \(\displaystyle{ x}\) w przypadku , gdy \(\displaystyle{ n}\) jest liczbą nieparzystą.

2. Stosując zadanie 1 wykazać, że jeśli \(\displaystyle{ p}\) jest liczbą pierwszą, to \(\displaystyle{ (p-1)! \equiv -1(\mod p)}\)(Tw Wilsona)

3. Wykazać, że jeśli \(\displaystyle{ a,b \in G}\) są takie, że \(\displaystyle{ aba^{-1}=b^i}\), to dla dowolnej liczby naturalnej \(\displaystyle{ r}\) zachodzi równość \(\displaystyle{ a^rba^{-r}=b^{i^r}}\)

4. Element \(\displaystyle{ a \in G}\) ma rząd \(\displaystyle{ 5}\), zaś element \(\displaystyle{ b \in G \setminus \left\{ e\right\}}\) spełnia równość \(\displaystyle{ aba^{-1}=b^2}\). Wyznacz rząd \(\displaystyle{ o(b)}\).

5. Niech \(\displaystyle{ S(X)}\) oznacza grupę wszystkich wzajemnie jednoznacznych funkcji zbioru \(\displaystyle{ X}\) na siebie ( z działaniem składanie funkcji). Niech \(\displaystyle{ f \in S(X)}\), \(\displaystyle{ f \neq id_X}\), będzie taką funkcją, że \(\displaystyle{ f^p = id_X}\), gdzie \(\displaystyle{ p}\) jest liczbą pierwszą. Wykazać, że jeśli dla pewnego elementu \(\displaystyle{ x_0 \in X}\) oraz pewnej liczby naturalnej \(\displaystyle{ j < p}\), zachodzi \(\displaystyle{ f^j(x_0)=x_0}\), to \(\displaystyle{ f(x_0)=x_0}\)

6. Niech \(\displaystyle{ f \in S(X)}\) będzie elementem rzędu \(\displaystyle{ p}\), gdzie \(\displaystyle{ p}\) jest liczbą pierwszą. Udowodnić, że dla dowolnego \(\displaystyle{ x_0 \in X}\) zbiór \(\displaystyle{ orb(x_0)=\left\{ f^j(x_0) | j \in \ZZ \right\}}\) ma albo \(\displaystyle{ p}\) elementów, albo jest jednoelementowy.

Pokaz woje proby rozwiazania

Jedyne co mi się udało to w 4 dojść do czegoś takiego:

\(\displaystyle{ a^5=e}\)

\(\displaystyle{ a^4aba^{-1}=ab^2}\)

\(\displaystyle{ a^5ba^{-1}=ab^2}\)

\(\displaystyle{ eba^{-1}=ab^2}\)

\(\displaystyle{ ba^{-1}=ab^2}\)

Do reszty jak na razie brak pomysłów

1. Co oznacza, że element jest rozwiązaniem równania.

Widzę, że rozwiązujemy jakieś serie zadań domowych i ta jest druga. Są to średnio-trudne, ale dosyć pouczające, zadania z podstawowego kursu algebry. Uważam, że nie ma sensu wypisywać tutaj gotowych rozwiązań. Obawiam się, że idziesz po prostu na zbyt dużą łatwiznę. Udzielę Ci kilku wskazówek.

Ad 1. Każdy element \(\displaystyle{ g_i}\) ma swoją odwrotność, która jest jakimś innym elementem \(\displaystyle{ g_j}\). Inaczej
\(\displaystyle{ \forall_i\exists_jg_ig_j=1}\)
Czy teraz widzisz dlaczego \(\displaystyle{ (g_1g_2...g_n)(g_1g_2...g_n)=1}\)?
Jak \(\displaystyle{ n}\) jest liczbą nieparzystą, to nie istnieje \(\displaystyle{ g_i\in G\setminus \{1\}}\) takie, że \(\displaystyle{ g_i^{-1}=g_i}\)(wykaż to). Czy widzisz dlaczego w tej sytuacji \(\displaystyle{ g_1g_2...g_n=1}\)?
Ad 2. Wskazówką jest sama treść zadania. Dodatkową wskazówką jest to, że należy rozpatrzeć multyplikatywną grupę reszt modulo \(\displaystyle{ p}\).
Ad 3. Przede wszystkim należy udowodnić, że dla każdego \(\displaystyle{ x\in G}\) i \(\displaystyle{ k\in \mathbb{N}}\) zachodzi
\(\displaystyle{ (axa^{-1})^k=ax^ka^{-1}}\)
W szczególności:
\(\displaystyle{ ab^ia^{-1}=(aba^{-1})^i=(b^i)^i=b^{i^2}}\)
i tak dalej przez indukcję.
Ad 4. Wynika bezpośrednio z zadania 3. Element \(\displaystyle{ b}\) jest rzędu \(\displaystyle{ 2^5-1=31}\)
Ad 5. Wynika z zadania 6.
Ad 6. Jeżeli grupa \(\displaystyle{ G}\) działa na zbiorze \(\displaystyle{ X}\), to dla każdego \(\displaystyle{ x\in X}\) moc jego orbity wynosi \(\displaystyle{ \frac{|G|}{|G_x|}}\), gdzie \(\displaystyle{ G_x}\) jest stabilizatorem elementu \(\displaystyle{ x}\). Wystarczy zastosować to dla \(\displaystyle{ G=\ZZ/p\ZZ}\).

1. Częściowo się rozjaśniło ale nie do końca. Tzn:

\(\displaystyle{ (g_1g_q^{-1})...(g_ng_n^{-1})=e}\)
Każdy element ma element odwrotny, ale jak to się wiąże z tym, że \(\displaystyle{ (g_1g_2...g_n)(g_1g_2...g_n)=e}\)? Tego nie widzę

n-> nieparzyste

Tworzymy pary \(\displaystyle{ {g,g^{-1}} = e}\). W grupie zawsze jest element neutralny czyli mamy:
\(\displaystyle{ exx^{-1}yy^{-1}...zz^{-1}}\). Wszystkich podkreślonych elementów jest n, gdzie n jest liczbą nieparzystą. Par \(\displaystyle{ {g,g^{-1}} = e}\) jest parzysta ilość, mamy dodatkowo element neutralny, czyli nie ma miejsca na jeszcze jeden element który sam ze sobą dawałby element neutralny. Tzn nie istnieje takie \(\displaystyle{ g}\) że \(\displaystyle{ g^2=e}\). Dobrze rozumiem?

2. \(\displaystyle{ p>2}\) \(\displaystyle{ G= \ZZ_p^*}\) ,
\(\displaystyle{ |G|=p-1 \qquad}\) ,
\(\displaystyle{ G=\ZZ_p^*=\left\{ 1,2,...,p-1 \right\}}\)
Skąd się bierze to:
\(\displaystyle{ (1 \cdot 2 \cdot ... \cdot (p-1))^2 \equiv 1 \pmod{p}}\)
\(\displaystyle{ x=1 \cdot 2 \cdot ... \cdot (p-1)}\) tzn \(\displaystyle{ x^2=1}\)?????

Tzn nie istnieje takie \(\displaystyle{ g}\) że \(\displaystyle{ g^2=e}\). Dobrze rozumiem?

Nie. Przeciez to, ze nei istnieje element rzedu 2 wynika natychmiast z tego, ze rzad elementu dzieli rzad grupy. W ogole nie to chcesz pokazac. twoim celem jest wykazanie, ze \(\displaystyle{ q_1 \cdot ... \cdot q_n =e}\) . Zeby to pokazac musisz zrozumeic rozwiazanie pierwszego podpunktu. Masz iloczyn \(\displaystyle{ q_1 \cdot ... \cdot q_n}\), kazdy element ma swoj element odwortny. Wiesz ze dany element nie moze byc elementem odwortnym dla dowch roznych elementow grupy. Grupa jest abelowa, wiec poprzestawiaj ten iloczyn tak, zeby elementy odwrotne byly sasiadujace.
Czy te pary elementow sie skasuja pozostawiajac same \(\displaystyle{ e}\)? Otoz nie. Sa specjalne elementy, dla ktorych nie istnieje roznych od nich element odwrotny -elementy rzedu 2.
Mowiac inaczej wprowadzasz relacje \(\displaystyle{ x \approx y \Leftrightarrow x \cdot y = e \vee x = y}\) klasy abstrakcji tej relacji sa jedno lub dwu-elementowe

Skąd się bierze to:

Z zadania pierwszego...

hah no racja, dzięki