Kontrola partii wyrobów

Definicja klasyczna. Prawdopodobieństwo warunkowe i całkowite. Zmienne losowe i ich parametry. Niezależność. Prawa wielkich liczb oraz centralne twierdzenia graniczne i ich zastosowania.
94
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 4
Rejestracja: 8 wrz 2007, o 15:56
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Nysa

Kontrola partii wyrobów

Post autor: 94 » 8 wrz 2007, o 16:06

Witajcie ostatnio w internecie naknąłem się na pewne zadanie. Z góry mowię, że nie chodzi mi o to, żebyście podali rozwiązanie, ale oto, żebyście sprawdzili moje.

Treść zadania:

Partię wyrobów liczących 80 sztuk poddaje się losowej kontroli. Jeżeli z trzech wylosowanych sztuk co najmniej jedna jest wadliwa, partię odrzucamy; w przeciwnym przypadku przyjmujemy. Co jest bardziej prawdopodobne przy takiej kontroli: odrzucenie partii zawierającej 5% sztuk wadliwych czy przyjęcie partii zawierającej 65% sztuk wadliwych ?

I tutaj moje rozwiązanie. Wyszło mi, że bardziej prawdopodobne jest przyjęcie parti zawierającej 65 % szyuk wadliwych (35 %), a prawdopodobieństwo odrzucenia partii zawierającej 4 sztuki wadliwe wynosi 5 %. Czy to rozwiązanie jest dobre? Z góry dziękuję.
Ostatnio zmieniony 8 wrz 2007, o 16:52 przez 94, łącznie zmieniany 1 raz.
Rekrutacja Instytut Matematyczny, Uniwersytet Wrocławski (gif)

Awatar użytkownika
Emiel Regis
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 1495
Rejestracja: 26 wrz 2005, o 17:01
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 71 razy
Pomógł: 225 razy

Kontrola partii wyrobów

Post autor: Emiel Regis » 8 wrz 2007, o 22:14

No mi prawdopodobieństwo odrzucenia 4 wadliwych wyszło 14%... ale to tylko liczby, każdy mógł się pomylić w rachunkach, wazniejsze jest rozumowanie. Może napisz jak liczyłeś.

94
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 4
Rejestracja: 8 wrz 2007, o 15:56
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Nysa

Kontrola partii wyrobów

Post autor: 94 » 9 wrz 2007, o 14:33

Dobrze jeśli chcesz, to napiszę Ci jak liczyłem. Z góry mowię, że moje rozumowanie może być błędne.

Najpierw policzmy jakie jest prawdopodobieństwo odrzucenia parti zawierającej 4 sztuki wadliwe. Najpierw każdej sztuce przyporządkowałem liczbę z zakresu 1-80. Potem policzyłem, że każda liczba występuje w 3081 kombinacjach. Kombinacją nazwałem układ trzech sztuk( jna przykład 1,2,3 lub 4,56,80). Wszystkich kombinacji jest 246480 ( według mnie 1,2,3 i 3,1,2 to ta sama kobmbinacja bo tak pewnie jest). Żeby odrzucić tą partię, trzeba wylosować taką, kombinację, która zawiera przynajmniej jedną sztukę wadliwą. Dla ułatwienia założyłem, że sztuki wadliwe mają numery 1,2,3 i 4. Kombinacji, które zawierają przynajmniej jedną z tych czterech licz jest 12324 (3081*4=12324). Prawdopodobieństwo wylosowania którejś z tych kombinacji wynosi więc \(\displaystyle{ \frac{12324}{246480}}\) , co daje nam 0,05 czyli 5 %. Tak więc prawdopodobieństwo odrzucenia tej parti wynosi 5 %.

Teraz zajmijmy się prawdopodobieństwem przyjęcia partii, zawierającej 52 sztuki wadliwe. Żeby to obliczyć, najwygodniej będzie najpierw policzyć jakie jest prawdopodobieństwo jej odrzucenia. Podobnie jak przy pierwszej parti, liczymy w ten sposób:

\(\displaystyle{ \frac{3081*52}{246480}}\) . Daje nam to 0,65 , czyli 65 %. Tak więc jeśli prawdopodobieństwo odrzucenia parti wynosi 65 %, to prawdopodobieństwo jej przyjęcia jest równe 35 %

Jak widać prawdopodobieństwo przyjęcia parti zawierającej 52 sztuki wadliwe jest 7 krotnie większe.


Starałem się pisać tak, żeby każdy krok był w pełni zrozumiały.
Odpowiedz Drizzt

Awatar użytkownika
Emiel Regis
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 1495
Rejestracja: 26 wrz 2005, o 17:01
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 71 razy
Pomógł: 225 razy

Kontrola partii wyrobów

Post autor: Emiel Regis » 9 wrz 2007, o 15:52

Skoncentruję się na pierwszym problemie i napiszę jak ja widzę rozwiazanie.

\(\displaystyle{ A}\) - odrzucenie partii zawierającej 5% sztuk wadliwych
\(\displaystyle{ H_i}\) - do kontroli wylosowano i sztuk wadliwych
Czyli mamy 4 sztuki wadliwe oraz 76 sztuk dobrych.
Rozbijamy omegę:
\(\displaystyle{ P(A)=P(A|H_0)P(H_0)+P(A|H_1)P(H_1)+P(A|H_2)P(H_2)+P(A|H_3)P(H_3)}\)
\(\displaystyle{ P(A|H_0)=0 \\ P(A|H_1)=1 \\ P(A|H_2)=1 \\ P(A|H_3)=1}\)
\(\displaystyle{ P(H_1)=\frac{C^2_{76} C^1_4}{C^3_{80}}=\frac{11400}{82160}}\)
\(\displaystyle{ P(H_2)=\frac{C^1_{76} C^2_4}{C^3_{80}}=\frac{456}{82160}}\)
\(\displaystyle{ P(H_3)=\frac{C^3_4}{C^3_{80}}=\frac{4}{82160}}\)
Ostatecznie:
\(\displaystyle{ P(A)=\frac{11400+456+4}{82160} 14 }\)

94
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 4
Rejestracja: 8 wrz 2007, o 15:56
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Nysa

Kontrola partii wyrobów

Post autor: 94 » 9 wrz 2007, o 16:08

Czyli moje rozwiązanie jest błędne. Mogłem się tego spodziewać.

Awatar użytkownika
Emiel Regis
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 1495
Rejestracja: 26 wrz 2005, o 17:01
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 71 razy
Pomógł: 225 razy

Kontrola partii wyrobów

Post autor: Emiel Regis » 9 wrz 2007, o 16:10

Nie do końca rozumiem u Ciebie każdą myśl jednak np coś takiego:
94 pisze:Wszystkich kombinacji jest 246480
Nie wiem skad to wziąłeś...

94
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 4
Rejestracja: 8 wrz 2007, o 15:56
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Nysa

Kontrola partii wyrobów

Post autor: 94 » 9 wrz 2007, o 16:11

Spróbuj wypisać wszystkie kombinacje cyfr, to ci tyle wyjdzie

Wojteks
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 35
Rejestracja: 7 sty 2007, o 13:21
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Rybnik
Pomógł: 1 raz

Kontrola partii wyrobów

Post autor: Wojteks » 9 wrz 2007, o 21:20

65% sztuk wadliwych:

wynik:
\(\displaystyle{ 0,039}\)

ODPOWIEDZ