Rozwinięcie funkcji trygonometrycznej w ot. zera
-
- Użytkownik
- Posty: 60
- Rejestracja: 21 kwie 2007, o 19:15
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Chełm Śląski
- Podziękował: 16 razy
Rozwinięcie funkcji trygonometrycznej w ot. zera
Witam!
Od dłuższego czasu głowię się nad rozwinięciem funkcji \(\displaystyle{ f(x)=cos(x^2)}\) w szereg potęgowy w otoczeniu 0.
Rozpisałem już całą stronę pochodnych tej funkcji i żadnej prawidłowości nie widzę. Scałkować też owej funkcji nie potrafię.
Proszę o pomoc.
Od dłuższego czasu głowię się nad rozwinięciem funkcji \(\displaystyle{ f(x)=cos(x^2)}\) w szereg potęgowy w otoczeniu 0.
Rozpisałem już całą stronę pochodnych tej funkcji i żadnej prawidłowości nie widzę. Scałkować też owej funkcji nie potrafię.
Proszę o pomoc.
- Emiel Regis
- Użytkownik
- Posty: 1495
- Rejestracja: 26 wrz 2005, o 17:01
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 71 razy
- Pomógł: 225 razy
Rozwinięcie funkcji trygonometrycznej w ot. zera
\(\displaystyle{ cosx=\sum_{k=0}^{\infty} \frac{(-1)^k x^{2k}}{(2k)!}}\)
a więc:
\(\displaystyle{ cosx^2=\sum_{k=0}^{\infty} \frac{(-1)^k (x^2)^{2k}}{(2k)!}=\sum_{k=0}^{\infty} \frac{(-1)^k x^{4k}}{(2k)!}}\)
a więc:
\(\displaystyle{ cosx^2=\sum_{k=0}^{\infty} \frac{(-1)^k (x^2)^{2k}}{(2k)!}=\sum_{k=0}^{\infty} \frac{(-1)^k x^{4k}}{(2k)!}}\)
-
- Użytkownik
- Posty: 60
- Rejestracja: 21 kwie 2007, o 19:15
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Chełm Śląski
- Podziękował: 16 razy
- Emiel Regis
- Użytkownik
- Posty: 1495
- Rejestracja: 26 wrz 2005, o 17:01
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 71 razy
- Pomógł: 225 razy
-
- Użytkownik
- Posty: 60
- Rejestracja: 21 kwie 2007, o 19:15
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Chełm Śląski
- Podziękował: 16 razy
Rozwinięcie funkcji trygonometrycznej w ot. zera
Chodziło mi o to, czy x w rozwinięciu funkcji kosinus może być funkcją, która po zróżniczkowaniu nie daje "prostej pochodnej", czyli złożonej wyłącznie ze stałych współczynników.
- max
- Użytkownik
- Posty: 3306
- Rejestracja: 10 gru 2005, o 17:48
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Lebendigentanz
- Podziękował: 37 razy
- Pomógł: 778 razy
Rozwinięcie funkcji trygonometrycznej w ot. zera
O ile Cię dobrze zrozumiałem, to:
Jeśli argument funkcji \(\displaystyle{ f}\), której rozwinięcie znamy jest naturalną potęgą \(\displaystyle{ x}\), to wystarczy podstawić ten argument do znanego rozwinięcia. Natomiast jeśli ów argument jest jakąś inną funkcją zmiennej \(\displaystyle{ x}\), to po podstawieniu bezpośrednio do rozwinięcia \(\displaystyle{ f}\) nie otrzymamy szeregu potęgowego...
Jeśli argument funkcji \(\displaystyle{ f}\), której rozwinięcie znamy jest naturalną potęgą \(\displaystyle{ x}\), to wystarczy podstawić ten argument do znanego rozwinięcia. Natomiast jeśli ów argument jest jakąś inną funkcją zmiennej \(\displaystyle{ x}\), to po podstawieniu bezpośrednio do rozwinięcia \(\displaystyle{ f}\) nie otrzymamy szeregu potęgowego...
-
- Użytkownik
- Posty: 60
- Rejestracja: 21 kwie 2007, o 19:15
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Chełm Śląski
- Podziękował: 16 razy
Rozwinięcie funkcji trygonometrycznej w ot. zera
To wiele wyjaśniło, ale czy np. dla argumentu \(\displaystyle{ \sqrt x}\) (nie jest to naturalna potęga x) również możemy zastosować powyższy wzór.
- max
- Użytkownik
- Posty: 3306
- Rejestracja: 10 gru 2005, o 17:48
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Lebendigentanz
- Podziękował: 37 razy
- Pomógł: 778 razy
Rozwinięcie funkcji trygonometrycznej w ot. zera
Faktycznie, źle się wyraziłem. O ile po podstawieniu otrzymasz szereg potęgowy zmiennej \(\displaystyle{ x}\), to nie widzę przeciwwskazań.