Zbieżność szeregu zespolonego

Definicja. Postać wykładnicza i trygonometryczna. Zagadnienia związane z ciałem liczb zespolonych.
Bormac
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 20
Rejestracja: 26 sie 2007, o 20:39
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Gdańsk
Podziękował: 12 razy

Zbieżność szeregu zespolonego

Post autor: Bormac » 8 wrz 2007, o 14:54

Zbadaj zbieżność i bezwzględną zbieżność szeregu: \(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{ } \frac {1 + i} {n^{2} + in}}\).

Z góry dzięki.
Rekrutacja Instytut Matematyczny, Uniwersytet Wrocławski (gif)

robin5hood
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1676
Rejestracja: 2 kwie 2007, o 14:43
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: warszawa
Podziękował: 178 razy
Pomógł: 17 razy

Zbieżność szeregu zespolonego

Post autor: robin5hood » 8 wrz 2007, o 21:23

\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{ } \frac {1 + i} {n^{2} + in} \frac{n^{2} +-in} {n^{2} +-in}=\sum_{n=1}^{ } \frac {1 + i} {n^{2} + in} = \sum_{n=1}^{ } \frac {n+1} {n^{3} + n}+i\sum_{n=1}^{ } \frac {n+1} {n^{3} + n}}\)
szereg jest zbiezny gdy oba są zbieżne
\(\displaystyle{ \frac{n+1} {n^{3} + n} qslant \frac{n+n} {n^{3} }=\frac{2} {n^{2}}}\) zbiezny
\(\displaystyle{ \frac{n-1} {n^{3} + n} qslant \frac{n} {n^{3} }=\frac{1} {n^{2}}}\) zbiezny
\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{ }| \frac {1 + i} {n^{2} + in}|=\sum_{n=1}^{ } \frac {|1 + i|} {|n^{2} + in|}=\sum_{n=1}^{ } \frac {\sqrt {2}} {n^{2} \sqrt{n^2+1}}}\)
\(\displaystyle{ \frac{1}{n^{2} \sqrt{n^2+1}} qslant \frac{1}{n^{2} n}=\frac{1}{n^3}}\) zbiezny
wiec szereg jest jednostajnie zbiezny

ODPOWIEDZ