Matematyka.pl

Jak się liczy wartość oczekiwaną?

np. mamy jakąś zmienną losową o rozkładzie normalnym (z jakimiś parametrami) \(\displaystyle{ X \sim \mathcal{N}(\mu,\sigma^2)}\) i jakąś funkcję od tej zmiennej losowej. Dajmy na to \(\displaystyle{ \exp(cX)}\). To jak się liczy wartość oczekiwaną?

Ogólnie dla rozkładów ciągłych jeśli \(\displaystyle{ \phi}\) jest funkcją borelowską, a \(\displaystyle{ f}\) - gęstością zmiennej losowej \(\displaystyle{ X}\), to
\(\displaystyle{ \mathbf{E}[\phi(X)]= \int_{\RR}^{} \phi(x)f(x) \ \dd x}\)

W najbardziej uogólnionej wersji, to jeśli masz zmienną losową \(\displaystyle{ X}\)
i funkcję borelowską \(\displaystyle{ \phi}\), to\(\displaystyle{ \mathbf{E}[\phi(X)]= \int_{\Omega}^{}\phi(X) \ \dd P}\)

Czyli w Twoim przykładzie byłoby
\(\displaystyle{ \mathbf{E}(\exp(cX)]= \int_{\RR}^{}\exp(cx) \frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}\exp\left( - \frac{x^2}{2\sigma^2} \right) \ \dd x}\)