Matematyka.pl

\(\displaystyle{ n! > 2^{n}}\) dla \(\displaystyle{ n \ge 4}\)

W czym problem? To bardzo standardowe zadanie.

Podpowiedź do drugiego kroku indukcyjnego: gdy \(\displaystyle{ k\ge 4}\) (a nawet \(\displaystyle{ k> 1}\), ale wtedy czasami teza nie działa), to \(\displaystyle{ (k+1)!=(k+1)\cdot k!>2 \cdot k!}\) i teraz skorzystaj z założenia indukcyjnego.

skąd nierówność: \(\displaystyle{ (k+1)\cdot k!>2 \cdot k!}\) ?
mam moment:
\(\displaystyle{ n! \cdot \left( n+1\right) > 2^{n+1}}\)
co dalej?

Stąd, że dla \(\displaystyle{ k>1}\) mamy \(\displaystyle{ k+1>2}\) i dalej to można pomnożyć stronami przez \(\displaystyle{ k!}\).
No to stąd \(\displaystyle{ n!(n+1)>2n!}\) i następnie skorzystaj z założenia indukcyjnego.