Matematyka.pl

Cześć
Co oznacza \(\displaystyle{ \{0,1\}^k}\). I czym w takim razie jest \(\displaystyle{ \{0,1\}^0}\)?

\(\displaystyle{ \{0,1\}^k}\) jest k - krotnym iloczynem kartezjańskim zbioru \(\displaystyle{ \{0,1\}}\)
Jeśli chodzi o \(\displaystyle{ \{0,1\}^0}\) to szczerze mówiąc nie spotkałem się chyba z czymś takim (albo nie pamiętam), więc trudno mi to interpretować.Ale podejrzewam że wynikiem jest zbiór pusty lub jakiś singleton.

Przy utożsamieniu zera ze zbiorem pustym zbiór \(\displaystyle{ \{0,1\}^0}\) jest zbiorem funkcji z \(\displaystyle{ \emptyset}\) w \(\displaystyle{ \{0,1\}}\), czyli zbiorem pustym. Bez tego utożsamienia zapis ten nie ma sensu.

JK

edit: poniżej poprawka

Igor V pisze:\(\displaystyle{ \{0,1\}^k}\) jest \(\displaystyle{ k}\) - krotnym iloczynem kartezjańskim zbioru \(\displaystyle{ \{0,1\}}\)

Czyli mówiąc prościej, zbiorem wszystkich ciągów zero-jedynkowych \(\displaystyle{ k}\)-elementowych, długości \(\displaystyle{ k}\)

Jakub Gurak pisze:

Igor V pisze:\(\displaystyle{ \{0,1\}^k}\) jest \(\displaystyle{ k}\) - krotnym iloczynem kartezjańskim zbioru \(\displaystyle{ \{0,1\}}\)

Czyli mówiąc prościej, zbiorem wszystkich ciągów zero-jedynkowych \(\displaystyle{ k}\)-elementowych, długości \(\displaystyle{ k}\)

No i tu nie masz racji - elementami iloczynu kartezjańskiego nie są ciągi, tylko krotki.

JK

Ale można utożsamiać te dwa obiekty. Krotka \(\displaystyle{ k}\)-elementowa może być w naturalny sposób utożsamiana z ciągiem \(\displaystyle{ k}\)-elementowym przecież. Np. trójce \(\displaystyle{ \left\langle 0,0,1\right\rangle}\) odpowiada \(\displaystyle{ 3}\)-elementowy ciąg \(\displaystyle{ \left( 0,0,1\right)}\).

Oczywiście, ale jest różnica pomiędzy "byciem czymś" a "możliwością naturalnego utożsamienia z czymś". Dlatego iloczyn kartezjański \(\displaystyle{ \{0,1\}^k}\) nie jest zbiorem \(\displaystyle{ k}\)-wyrazowych ciągów zerojedynkowych, jak napisałeś, a jedynie daje się z tym zbiorem naturalnie utożsamić.

Nie ma wątpliwości, że normalnie tego utożsamienia dokonuje się mimowolnie, ale trzeba sobie najpierw zdawać sprawę, że w ogóle takie utożsamienie jest potrzebne.

JK

Jan Kraszewski pisze:Przy utożsamieniu zera ze zbiorem pustym zbiór \(\displaystyle{ \{0,1\}^0}\) jest zbiorem funkcji z \(\displaystyle{ \emptyset}\) w \(\displaystyle{ \{0,1\}}\), czyli zbiorem pustym.

Hmmmmm... ;-]

Dasio11 pisze:Hmmmmm... ;-]

No tak, Dasio11 jest niezastąpiony, a jego czujność - przysłowiowa. Zatem drugie podejście:

Przy utożsamieniu zera ze zbiorem pustym zbiór \(\displaystyle{ \{0,1\}^0}\) jest zbiorem funkcji z \(\displaystyle{ \emptyset}\) w \(\displaystyle{ \{0,1\}}\), czyli zbiorem jednoelementowym, którego jedynym elementem jest funkcja pusta.

JK

Dasio11 pisze:

Jan Kraszewski pisze:Przy utożsamieniu zera ze zbiorem pustym zbiór \(\displaystyle{ \{0,1\}^0}\) jest zbiorem funkcji z \(\displaystyle{ \emptyset}\) w \(\displaystyle{ \{0,1\}}\), czyli zbiorem pustym.

Hmmmmm... ;-]

Jan Kraszewski pisze:Zatem drugie podejście:

Przy utożsamieniu zera ze zbiorem pustym zbiór \(\displaystyle{ \{0,1\}^0}\) jest zbiorem funkcji z \(\displaystyle{ \emptyset}\) w \(\displaystyle{ \{0,1\}}\), czyli zbiorem jednoelementowym, którego jedynym elementem jest funkcja pusta.

Dobrze. Że też tego nie zauważyłem.

Natomiast zbiór funkcji z \(\displaystyle{ \{0,1\}}\) w \(\displaystyle{ \emptyset}\) jest pusty, z czym to pomyliłem chyba.