oblicz sumę pierwiastków

Własności wielomianów; pierwiastki, współczynniki. Dzielenie wielomianów. Wzory Viete'a. RÓWNANIA I NIERÓWNOŚCI wielomianowe (wyższych stopni). Rozkład na czynniki.
mateusz200414
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 280
Rejestracja: 30 mar 2007, o 20:49
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: kartuzy
Podziękował: 112 razy
Pomógł: 1 raz

oblicz sumę pierwiastków

Post autor: mateusz200414 » 8 wrz 2007, o 10:11

cześć

mam z tym przykładem kłopot.

"oblicz sumę pieerwiastków wielomianu przy założeniiu, ze wielomian w rozkłada się na iloczyn czynników liniowych \(\displaystyle{ w(x)=2x^4+4x^3+px^2+qx+2}\)"

co to znaczy, że rozkłada się na iloczyn czynników liniowych? wywnioskowałem, że ma tylko rozwiązania wymierne, czy dobrze? jeśli tak, to zapisałem wszystkie mozliwe pierwiastki, obliczyłem wartość wielomianu dla nich, no ale jest ten parametr, dlatego nie wiem, które rzeczywiście są rozwiązaniami... może idzie to jakoś "pogrupować"?

proszę o pomoc
Rekrutacja Instytut Matematyczny, Uniwersytet Wrocławski (gif)

Awatar użytkownika
setch
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1307
Rejestracja: 14 sie 2006, o 22:37
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bełchatów
Podziękował: 155 razy
Pomógł: 207 razy

oblicz sumę pierwiastków

Post autor: setch » 8 wrz 2007, o 10:28

rozkład na czynniki liniowe to \(\displaystyle{ W(x)=a(x-x_1)(x-x_2)(x-x_3)(x-x_4)\ldots}\), gdzie a to współczynnik przy najwyższej potędze, \(\displaystyle{ x_n}\) to pierwiastki wielomianu. Ponadto, aby obliczyć sumę pierwiastków wielomianu należy skorzystać, ze wzrów Vietea.

http://pl.wikipedia.org/wiki/Wzory_Viète'a

mateusz200414
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 280
Rejestracja: 30 mar 2007, o 20:49
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: kartuzy
Podziękował: 112 razy
Pomógł: 1 raz

oblicz sumę pierwiastków

Post autor: mateusz200414 » 8 wrz 2007, o 15:16

nie wiem jak zastosować w przypadku takiego równania wzory vieta...

dla rozjaśnienia, rozkład na czynniki liniowe oznacza, ze cały wielomian da sie rozłożyć na czynniki stopnia pierwszego, tak?

proszę o dalsze wskazówki w kwestii tych wz. vieta

Awatar użytkownika
max
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 3306
Rejestracja: 10 gru 2005, o 17:48
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Lebendigentanz
Podziękował: 37 razy
Pomógł: 778 razy

oblicz sumę pierwiastków

Post autor: max » 8 wrz 2007, o 17:28

Wystarczy podstawić do wzoru, suma pierwiastków wielomianu stopnia \(\displaystyle{ n}\) to liczba przeciwna do współczynnika stojącego przy \(\displaystyle{ x^{n - 1}}\) podzielonego przez współczynnik stojący przy \(\displaystyle{ x^{n}}\). W tym przypadku ten wzór możesz otrzymać wymnażając iloczyn:
\(\displaystyle{ 2(x - x_{1})(x - x_{2})(x - x_{3})(x - x_{4})}\) i przyrównując współczynniki z danym wielomianem.
mateusz200414 pisze:dla rozjaśnienia, rozkład na czynniki liniowe oznacza, ze cały wielomian da sie rozłożyć na czynniki stopnia pierwszego, tak?
Tak.

mateusz200414
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 280
Rejestracja: 30 mar 2007, o 20:49
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: kartuzy
Podziękował: 112 razy
Pomógł: 1 raz

oblicz sumę pierwiastków

Post autor: mateusz200414 » 8 wrz 2007, o 17:39

ok, wyszło poprawnie, dzięki.

tylko.. to zadanie strasznie czasochłonne, nie wyobrażam sobie co by sie działo w przypadku wielomianu stopnia 10..., czy można to zrobić krócej, nie znając podanego przez ciebie twierdzenia (czy tez nie jest to twierdzenie? )

Awatar użytkownika
max
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 3306
Rejestracja: 10 gru 2005, o 17:48
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Lebendigentanz
Podziękował: 37 razy
Pomógł: 778 razy

oblicz sumę pierwiastków

Post autor: max » 8 wrz 2007, o 17:55

Czasochłonne jest wymnażanie tego iloczynu, czyli metoda nie korzystająca z wzorów Viete'a, z których od razu dostalibyśmy w tym przypadku:
\(\displaystyle{ x_{1} + x_{2} + x_{3} + x_{4} = -\frac{4}{2}}\)

mateusz200414
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 280
Rejestracja: 30 mar 2007, o 20:49
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: kartuzy
Podziękował: 112 razy
Pomógł: 1 raz

oblicz sumę pierwiastków

Post autor: mateusz200414 » 8 wrz 2007, o 18:13

dokładnie tak, a jak skorzystać tutaj ze wzorów vieta? w szkole uczyli nas tylko tych podstawowych dla r. kwadrat., a z wikipedii nie rozumiem...

Awatar użytkownika
max
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 3306
Rejestracja: 10 gru 2005, o 17:48
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Lebendigentanz
Podziękował: 37 razy
Pomógł: 778 razy

oblicz sumę pierwiastków

Post autor: max » 8 wrz 2007, o 18:30

Na wikipedii jest to rozpisane dla przypadku ogólnego.

W przypadku wielomianów czwartego stopnia wzory Viete'a będą wyglądały tak:
Jeśli mamy wielomian:
\(\displaystyle{ W(x) = a_{4}x^{4} + a_{3}x^{3} + a_{2}x^{2} + a_{1}x + a_{0}}\)
o pierwiastkach \(\displaystyle{ x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}}\) (niekoniecznie różnych), to:
\(\displaystyle{ \begin{cases}x_{1} + x_{2} + x_{3} + x_{4} = -\frac{a_{3}}{a_{4}}\\
x_{1}x_{2} + x_{1} x_{3} + x_{1}x_{4} + x_{2}x_{3} + x_{2}x_{4} + x_{3}x_{4} = \frac{a_{2}}{a_{4}}\\
x_{1}x_{2}x_{3} + x_{1}x_{2}x_{4} + x_{1}x_{3}x_{4} + x_{2}x_{3}x_{4} = -\frac{a_{1}}{a_{4}}\\
x_{1}x_{2}x_{3}x_{4} = \frac{a_{0}}{a_{4}}\end{cases}}\)

(należy przy tym pamiętać, że nie każdy wielomian czwartego stopnia o współczynnikach rzeczywistych ma cztery pierwiastki rzeczywiste)
Aby te wzory wyprowadzić, należy właśnie wymnożyć postać iloczynową tego wielomianu i przyrównać współczynniki.

mateusz200414
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 280
Rejestracja: 30 mar 2007, o 20:49
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: kartuzy
Podziękował: 112 razy
Pomógł: 1 raz

oblicz sumę pierwiastków

Post autor: mateusz200414 » 8 wrz 2007, o 19:22

teraz rozumiem, wielkie dzięki!

ODPOWIEDZ