równanie rozniczkowe zwyczajne rzedu 1.

Różniczkowalność, pochodna funkcji. Przebieg zmienności. Zadania optymalizacyjne. Równania i nierówności z wykorzystaniem rachunku różniczkowego.
Awatar użytkownika
TS
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 64
Rejestracja: 31 lip 2007, o 21:04
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: W-wa
Podziękował: 10 razy

równanie rozniczkowe zwyczajne rzedu 1.

Post autor: TS » 8 wrz 2007, o 09:55

Jak podstawic 'u'?

\(\displaystyle{ y'=\frac{y}{x}+\frac{\sqrt{x^2+y^2}}{x}}\)

luka52
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 8602
Rejestracja: 1 maja 2006, o 20:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 47 razy
Pomógł: 1817 razy

równanie rozniczkowe zwyczajne rzedu 1.

Post autor: luka52 » 8 wrz 2007, o 12:27

Przekształć równanie do postaci:
\(\displaystyle{ y' = \frac{y}{x} + \sqrt{1 + \frac{y^2}{x^2}}}\)
i podstaw u = y/x.

Awatar użytkownika
TS
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 64
Rejestracja: 31 lip 2007, o 21:04
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: W-wa
Podziękował: 10 razy

równanie rozniczkowe zwyczajne rzedu 1.

Post autor: TS » 8 wrz 2007, o 12:55

podstawiam y=ux

\(\displaystyle{ u'x + u= u + \sqrt{1+u^2}}\)
rozdzielam zmienne, calkuje
\(\displaystyle{ arcsin \frac{y}{x} = ln x + c}\)
\(\displaystyle{ y = sin (ln x + c ) x}\)

a powinno być

\(\displaystyle{ y=c x^2 - \frac{1}{4c}}\)
Ostatnio zmieniony 8 wrz 2007, o 13:08 przez TS, łącznie zmieniany 3 razy.

luka52
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 8602
Rejestracja: 1 maja 2006, o 20:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 47 razy
Pomógł: 1817 razy

równanie rozniczkowe zwyczajne rzedu 1.

Post autor: luka52 » 8 wrz 2007, o 13:04

Popraw zapis i używaj funkcji '\frac{}{}' do zapisywania ułamków.

Po podstawieniu równanie sprowadza się do:
\(\displaystyle{ u'x + u = u + \sqrt{1+u^2}\\
u' x = \sqrt{1+u^2}\\
\frac{du}{\sqrt{1+u^2}} = \frac{dx}{x}\\
\arcsinh u = \ln x + C\\
\frac{y}{x} = \sinh \left( \ln x + C \right)\\
y = x \sinh \left( \ln x + C \right)}\)

I jest to poprawna odpowiedź.

ODPOWIEDZ