Strona 1 z 1
Równanie liczb zespolonych
: 6 paź 2016, o 18:27
autor: tomek1413
\(\displaystyle{ (z-i)^{4}=16}\) I nie wiem jak się za to zabrać.Zamienić \(\displaystyle{ z=a+bi}\) i podnieść to do 4 potęgi?Ale to będą dziwne liczby wtedy i ciężko to będzie rozwiązać.Naprowadzi ktoś jak to zrobić?
Równanie liczb zespolonych
: 6 paź 2016, o 18:33
autor: kalwi
\(\displaystyle{ (z-i)^4=2^4}\)
Więc wiadomo, że jednym z pierwiastków dla lewej strony (tj. dla \(\displaystyle{ z-i}\)) jest \(\displaystyle{ 2}\). Pozostałe łatwo wyznaczyć wykorzystując pierwiastki z jedynki.
Pierwiastki czwartego stopnia z jedynki to: \(\displaystyle{ 1,-1,i,-i}\).
Więc wtedy:
\(\displaystyle{ z-i=2 \vee z-i=-2 \vee z-i=2i \vee z-i=-2i}\)
No i masz stąd rozwiązanie.
Równanie liczb zespolonych
: 6 paź 2016, o 18:49
autor: tomek1413
Hmm ten pierwszy pierwiastek rozumiem,ale skąd się wzięły pierwiastki z jedynki?
Równanie liczb zespolonych
: 6 paź 2016, o 18:50
autor: kalwi
\(\displaystyle{ (1)^4=1 \\ (-1)^4=1 \\ (i)^4=1 \\ (-i)^4=1}\)
To akurat łatwo zapamiętać. Pierwiastki z jedynki trzeciego stopnia trzeba by już było policzyć, bo nie będą takie ładne.
Równanie liczb zespolonych
: 6 paź 2016, o 18:59
autor: tomek1413
Czyli rozumiem,że wziąłeś prawą strone potraktowałeś ją jako jeden,a potem pomnożyłeś razy dwa?Jakby tam było \(\displaystyle{ (z-i)^4=3^4}\) to by sie zrobiło \(\displaystyle{ z-i=3 , z-i=-3 , z-i=-3i , z-i =-3i}\) ??
Równanie liczb zespolonych
: 6 paź 2016, o 19:04
autor: kalwi
1) Nie. Jeśli masz równanie typu \(\displaystyle{ z^n=x^n}\), to od razu można powiedzieć, że jednym z pierwiastków na pewno będzie \(\displaystyle{ z=x}\). Z kolei jakieś tam twierdzenie mówi, że wszystkimi pierwiastkami tego równania będą
\(\displaystyle{ x\omega_0,x\omega_1,x\omega_2,\dots,x\omega_n}\)
Przy czym
\(\displaystyle{ \omega_0,\dots,\omega_n}\) - pierwiastki \(\displaystyle{ n}\)-tego stopnia z jedynki. Oraz zawsze jednym z pierwiastków z jedynki jest jeden (zazwyczaj oznaczane \(\displaystyle{ \omega_0}\)).
2) Tak, tyle by to wyniosło