czemu zawsze 1089

Matematyczne łamigłowki i zagadki...
matematykaaa
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1
Rejestracja: 8 wrz 2007, o 08:37
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Chełm

czemu zawsze 1089

Post autor: matematykaaa » 8 wrz 2007, o 08:49

Treść zadania brzmi: Napisz liczbę trzycyfrową zeby cyfra setek i cyfra jedności rożniła sie przynajmniej o jeden. Nastepnie zamień by cyfra setek znalazla sie na miejscu jednosci a cyfra jedności na miejscu setek, odejmij od siebie te dwie liczby i w tej liczbie ktora wyszla z odejmowania zamien znowu cyfre setek na cyfre jednosci i dodaj te dwie liczby do siebie.
I teraz mam pytanie czemu za kazdym razem wyjdzie 1089. To jest moja praca domowa a ja nie mam pojecia czemu tak sie dzieje

Np.

328
zamieniam miejscami 823
odejmuje: 495
zamieniam miejscami : 594
obie liczby ostatnie dodaje do siebie 495+594= 1089[/b]
Rekrutacja Instytut Matematyczny, Uniwersytet Wrocławski (gif)

mostostalek
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1384
Rejestracja: 26 lis 2006, o 21:34
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Poznań
Podziękował: 33 razy
Pomógł: 268 razy

czemu zawsze 1089

Post autor: mostostalek » 8 wrz 2007, o 12:15

zauważ, że jakich liczb byś nie użyła spełniających założenia.. to po odjęciu wyjdzie Ci liczba typu:
A9B..

A to liczba setek
na miejscu dziesiątek pojawia się 9
B to liczba jedności

do tego A+B=9

i teraz A+B na miejscu jedności daje 9

dodając dziesiątki otrzymasz 18, czyli dodając pisemnie wpisujesz 8 + 1 w pamięci..
w setkach A+B=9 +1=10

Awatar użytkownika
DEXiu
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 1174
Rejestracja: 17 lut 2005, o 17:22
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Jaworzno
Pomógł: 69 razy

czemu zawsze 1089

Post autor: DEXiu » 8 wrz 2007, o 14:38

Nieco bardziej formalnie:
Niech naszą pierwotną liczbą będzie \(\displaystyle{ \overline{abc}=100a+10b+c}\), przy czym załóżmy, że \(\displaystyle{ a\geq{c+1}}\) (z warunków zadania wiemy, że różnica między tymi cyframi wynosi co najmniej 1, a ponieważ później będziemy je zamieniać miejscami i odejmować, to bez straty ogólności przyjmiemy, że nasz wyjściowa liczba jest "tą większą" (w takim układzie po zamianie cyfr \(\displaystyle{ a}\) i \(\displaystyle{ c}\) liczba się zmniejszy, co chyba oczywiste )). Zatem pierwsze odejmowanie będzie wyglądało tak:
\(\displaystyle{ \overline{abc}-\overline{cba}=(100a+10b+c)-(100c+10b+a)=99(a-c)}\)
Teraz zauważmy, że ponieważ \(\displaystyle{ a}\) i \(\displaystyle{ c}\) są cyframi oraz \(\displaystyle{ a\geq{c+1}}\), to \(\displaystyle{ (a-c)\in\{1,2,3,...,9\}}\). Teraz zauważmy, że jeśli weźmiemy liczbę postaci \(\displaystyle{ 99\cdot{x}}\), gdzie \(\displaystyle{ x\in\{1,2,3,...,9\}}\), to cyfra jedności tej liczby wynosi \(\displaystyle{ 10-x}\), cyfra dziesiątek (co już zauważył mostostalek) zawsze wynosi \(\displaystyle{ 9}\), natomiast cyfra dziesiątek wynosi \(\displaystyle{ x-1}\) (wszystkie te fakty dość łatwo wykazać). Zatem będzie to liczba postaci \(\displaystyle{ \overline{(x-1)9(10-x)}=100\cdot(x-1)+10\cdot9+(10-x)}\). Po zamianie miejscami cyfr dziesiątek i jedności otrzymamy liczbę postaci \(\displaystyle{ \overline{(10-x)9(x-1)}=100\cdot(10-x)+10\cdot9+(x-1)}\). Sumując te liczby otrzymujemy:
\(\displaystyle{ \overline{(x-1)9(10-x)}+\overline{(10-x)9(x-1)}=\\=100\cdot(x-1)+10\cdot9+(10-x)+100\cdot(10-x)+10\cdot9+(x-1)=\\=1089}\)

ODPOWIEDZ