Matematyka.pl

Mam udowodnić \(\displaystyle{ |-x| = |x|}\) dla wszystkich \(\displaystyle{ x}\).

Jesli pokażę, że \(\displaystyle{ |-1|=1}\) to reszta jest trywialna. Wiem, że \(\displaystyle{ -1<0}\) czyli \(\displaystyle{ |-1|=-(-1)=1}\). Wszystko banalne, jednak mam twierdzenie, które wynika z definicji wartości bezwględnej i brzmi
1.
a) \(\displaystyle{ |x| \ge 0}\) dla wszystkich \(\displaystyle{ x \in \RR}\) i \(\displaystyle{ |x| = 0 \Leftrightarrow x = 0}\).
b) \(\displaystyle{ |xy| = |x| |y|}\) dla wszystkich \(\displaystyle{ x, y \in \RR}\).
c) \(\displaystyle{ |x+y| \le |x| + |y|}\) dla wszystkich \(\displaystyle{ x, y \in \RR}\).

I teraz z powrotem do mojego \(\displaystyle{ |-x|=|x|}\), a dokładniej \(\displaystyle{ |-1|=1}\). Mam przedstawiony dowód, który wygląda tak:
W 1. b) podstawmy \(\displaystyle{ x=y=1}\) i otrzymujemy \(\displaystyle{ |1|=|1||1|}\), z czego wynika \(\displaystyle{ |1|=1}\) (to jest zrozumiałe). Dla \(\displaystyle{ x=y=-1}\) mamy \(\displaystyle{ |-1|^2 = |1| = 1}\) (to również rozmiem) czyli \(\displaystyle{ |-1|=1}\) z pomocą a) (tego nie rozumiem). Skąd nagle \(\displaystyle{ |-1|=1}\)? Dlaczego to jest zrobione tak pokrętnie? Pierw pomyślałem, że chodzi pewnie o to, żeby skorzystać z twierdzenia 1. bez potrzeby odwoływania się do definicji wartości bezwględnej i wiedzy o \(\displaystyle{ -1<0}\). Tak czy tak, nie rozumiem przejścia do \(\displaystyle{ |-1|=1}\).

Masz równanie o obu stronach nieujemnych - podnieś je stronami do kwadratu.

Tu nie ma czego dowodzić, bo wynika natychmiast z definicji wartości bezwzględnej. Niech \(\displaystyle{ x\ge 0}\). Wtedy \(\displaystyle{ |x|=x}\). Ale \(\displaystyle{ -x\le 0}\), więc z definicji \(\displaystyle{ |-x|=-(-x)=x}\). Podobnie rozważ przypadek \(\displaystyle{ x<0}\).

To polecenie nie jest takie idiotyczne, jak może się początkowo wydawać.

Definicja. Wartością bezwzględną na ciele \(\displaystyle{ K}\) nazywamy odwzorowanie \(\displaystyle{ |\cdot| \colon K \to \{x \in \mathbb R : x \ge 0\}}\) spełniające trzy warunki:
- \(\displaystyle{ |x| = 0 \iff x = 0}\)
- dla \(\displaystyle{ x, y \in K}\), \(\displaystyle{ |xy| = |x| \cdot |y|}\)
- dla \(\displaystyle{ x, y \in K}\), \(\displaystyle{ |x+y| \le |x| + |y|}\).

Przykłady. Funkcja \(\displaystyle{ |x+iy| = \sqrt{x^2 + y^2}}\) na ciele liczb zespolonych (\(\displaystyle{ x, y}\): rzeczywiste). Trywialna wartość bezwzględna: indykator zbioru \(\displaystyle{ K^\times}\). Norma \(\displaystyle{ p}\)-adyczna.

Twierdzenie. Jeśli \(\displaystyle{ |\cdot|}\) jest wartością bezwzględną, to \(\displaystyle{ |-x| = |x|}\) dla wszystkich \(\displaystyle{ x \in K}\).

Dowód. Pokażemy najpierw, że \(\displaystyle{ |1| = 1}\). Istotnie, \(\displaystyle{ |1| = |1 \cdot 1| = |1| \cdot |1|}\) (warunek drugi). Liczba \(\displaystyle{ |1|}\) jest rozwiązaniem równania \(\displaystyle{ x^2 - x = 0}\), a przy tym \(\displaystyle{ 1 \neq 0}\), więc \(\displaystyle{ |1| = 1}\).

Dalej, \(\displaystyle{ 1 = |1| = |(-1) \cdot (-1)| = |-1|^2}\). Wartość bezwzględna jest rzeczywista i nieujemna, zatem \(\displaystyle{ |-1| = 1}\).

Wreszcie \(\displaystyle{ |-x| = |-1 \cdot x| = |-1| \cdot |x| = 1 \cdot |x| = |x|}\).

Nie mówię, że idiotyczne, ale na \(\displaystyle{ \RR}\) naprawdę nie ma czego dowodzić. Uwagi o wartości bezwzględnej w ciele są bardzo ciekawe.

szw1710, nieprawda, że nie ma czego dowodzić. Czasem bowiem natrafiamy na zadania, które wymagają wykazania pewnych - z pozoru oczywistych - faktów bazując jedynie na podanej definicji. Te zadania mogą na początku wydawać się dziwne, ale moim zdaniem są świetnym ćwiczeniem na lepsze zrozumienie pewnych własności, z których wielu z nas korzysta. Często trzeba posiedzieć naprawdę sporo czasu nad niby trywialnym zagadnieniem, co bywa lekko frustrujące, niemniej nabierając w tym doświadczenia idzie coraz szybciej. Nie możemy jak piszesz skorzystać z tego, że \(\displaystyle{ |x| = -x}\) dla x ujemnych, gdyż nie ma tej własności w definicji podanej w zadaniu. Dopiero po wykazaniu tego korzystając z podanych własności możemy uznać, że dowód jest skończony

Masz rację, jeśli posłużyć się własnościami a), b), c) z pierwszego posta w temacie. A w ogóle Twoje uwagi są bardzo "dorosłe".

lolks123, dyskusja na ten temat nie ma większego sensu, dopóki autor nie sprecyzuje z jakiej definicji wartości bezwzględnej korzysta. Jeżeli jest to definicja szkolna:
\(\displaystyle{ \left|x\right| = \begin{cases} x, \quad x\ge 0 \\ -x, \quad x<0 \end{cases}}\)
to zgadzam się z szw1710, że nie ma czego dowodzić. Choć sformułowanie "nie ma czego dowodzić" choć bardzo utarte i popularne (również w różnego rodzaju publikacjach), to bezpieczniej jest korzystać z formy: "wynika to wprost z definicji" lub jakiejś podobnej

bezpieczniej jest korzystać z formy: "wynika to wprost z definicji"

Co też zastosowałem. Jednak w pewnej mierze zgadzam się z lolks123, jeśli używać tych własności a,b,c, co ma sens w świetle mądrego i wartościowego posta Santiago A.

Santiago, właśnie o to chodziło. Jednak mam tutaj kilka pytań.

Po pierwsze \(\displaystyle{ |1|=1}\). Dlaczego? Fakt mogę łatwo sprawdzić, że \(\displaystyle{ |1|}\) rozwiązuję równanie, bo \(\displaystyle{ |1||1|-|1|=|1 \cdot 1| - |1| = |1|-|1| = 0}\). Tutaj skorzystałem z b). Wiem też, że \(\displaystyle{ 1 \not = 0}\). I jak tutaj dochodzisz do \(\displaystyle{ |1|=1}\)? Pierw myślałem, zanim napisałem ten post, że ta równośc wynika bezpośrednio z właściwości elementu neutranego dla mnożenia. Teraz po namyśleniu dochodzę do wniosku, że to nie miało sensu.

Następnie przekształcenie \(\displaystyle{ 1 = |-1|^2}\), które rozumiem i nagle \(\displaystyle{ |-1|=1}\). Skąd się ten wniosek wziął? To w sumie pytanie, dla którego założyłem ten temat.

I ostatnia kwestia. Wprawdzie korzystam ze "szkolnej" definicji wartości bezwględnej, jednak mam wzmiankę o owym ciele (ciele spełniającym te trzy warunki), dlatego pewnie autor zrobił to tak jak Santiago A. To ciało ma nawet swoją nazwę. Chyba po angielsku zwie się to valued field, ale niestety nie znam polskiej nazwy. Co prawda mam to ciało zdefiniowane jako ciało \(\displaystyle{ K}\) z funkcją \(\displaystyle{ K \rightarrow \RR, x \mapsto |x|}\), gdzie spełnione są wspomniane warunki a), b), c). Jednak według mnie moja definicja ma sens jedynie dla ciał \(\displaystyle{ K \subseteq \RR}\). Bo w innym wypadku czym miałoby być \(\displaystyle{ |x|}\)? Dla mnie to traci sens. Natomiast definicja Santiago A jest sensowna dla każdego ciała.

Tak czy tak, to całe ciało to raczej temat poboczny, którym się nie zajmuję. Chciałem po prostu zrozumieć skąd się wzięły te przekształcenia, a przy okazji się tutaj czegoś dowiedziałem.-- 28 wrz 2016, o 20:31 --Santiago, co do pierwszego mojego pytania to pewnie zauważasz, że \(\displaystyle{ (-1)(-1)-(-1)= 1+1}\) czyli \(\displaystyle{ >0}\), a więc nie spełniałoby równania. A więc \(\displaystyle{ |1|=1}\) co możemy sprawdzić poprzez \(\displaystyle{ 1\cdot 1 -1 =0}\). Ale to dla mnie trochę masło maślane, bo wiedząc, że \(\displaystyle{ |1|}\) jest równe \(\displaystyle{ 1}\) lub \(\displaystyle{ -1}\) i tak (niejawnie) odwołujemy się do tej szkolnej definicji. Więc równie dobrze można od razu powiedzieć, że \(\displaystyle{ |1|}\) i wiemy z definicji, że \(\displaystyle{ |1|=1}\) (bo \(\displaystyle{ 1>0}\)). Więc po co ten cały wywód z funkcją kwadratową? Być może to ja już coś mieszam...

novicjusz, no to cieszę się, że wyjechałem ze szkolną definicją, bo bez tego chyba nie wywiązałaby się ta dyskusja.

Skoro \(\displaystyle{ |1|}\) jest rozwiązaniem równania \(\displaystyle{ x^2 - x = 0}\), to albo \(\displaystyle{ |1| = 0}\), albo \(\displaystyle{ |1| = 1}\). Pierwszy przypadek jest wykluczony z definicji wartości bezwzględnej - mówi ona, że \(\displaystyle{ |x| = 0}\) dokładnie dla \(\displaystyle{ x = 0}\), natomiast aksjomaty ciała zapewniają nas, że \(\displaystyle{ 0 \neq 1}\)*. Dalej, \(\displaystyle{ |-1|^2 = 1}\), więc \(\displaystyle{ |-1| = 1}\) lub \(\displaystyle{ |-1| = -1}\). Ale wartość bezwzględna jest nieujemna, więc wybieramy pierwszą opcję. Jeżeli nie potrafisz się odzwyczaić od szkolnej wartości bezwzględnej, pisz zamiast \(\displaystyle{ |\ldots|}\) mniej kojarzące się z czymkolwiek \(\displaystyle{ f(\ldots)}\).

Przykłady innych norm znajdziesz albo .

Valued field to ciało z waluacją (albo unormowane, niektórzy matematycy, jak na przykład Cassels, nazywają normy waluacjami, inni je rozróżniają i piszą \(\displaystyle{ v_p(x) = -\log |x|_p}\)), najpopularniejszymi są ciało liczb \(\displaystyle{ p}\)-adycznych \(\displaystyle{ \mathbb Q_p}\), jego skończone rozszerzenia, uzupełnienie jego algebraicznego domknięcia, \(\displaystyle{ \mathbb C_p}\) albo sferyczne domknięcie poprzedniego, uniwersalne ciało \(\displaystyle{ \Omega_p}\).

* to jest prawdą w każdym ciele, a nie tylko charakterystyki różnej od dwóch.

a może by to tak zrobić

\(\displaystyle{ |x|:=\max \left\{ -x,x\right\}}\)

więc

\(\displaystyle{ |-x|=\max \left\{ -(-x),-x\right\}=\max \left\{ x,-x\right\}}\)

mamy więc zbiór 2 dwuelementowy z którego wybieramy \(\displaystyle{ \max}\). Kolejność nie jest ważna więc.

\(\displaystyle{ \max \left\{ x,-x\right\} =\max \left\{ -x,x\right\}}\)

czyli :

\(\displaystyle{ |-x|=|x|}\)

To jest szkolna definicja. W ciałach nie zawsze mamy możliwość porównywania elementów. Np. gdyby w \(\displaystyle{ \CC}\) można było wprowadzić porządek o własnościach (z grubsza) takich jak w \(\displaystyle{ \RR}\), to \(\displaystyle{ i>0}\) lub \(\displaystyle{ i<0}\). W pierwszym przypadku \(\displaystyle{ i^3=i^2\cdot i=-i<0}\), więc \(\displaystyle{ i^4=i^3\cdot i<0}\). Ale \(\displaystyle{ i^4=1>0}\). Do podobnej sprzeczności dochodzimy w drugim przypadku. Dyskusja w tym wątku dotyczy algebry abstrakcyjnej i ciał z waluacjami. Santiago A, jestem przyzwyczajony do tej nazwy.

Santiago, nadal mam problemy.

Chcę pokazać \(\displaystyle{ |1||1| = |1|}\). Twoje równanie rozumiem, ale muszę wiedzieć, że to równanie kwadratowe nie ma więcej niż dwa podane rozwiązania. Wiadomo, jest to wiedza szkolna, ale bazując na pewnych aksjomatach nie wszystko jest takie oczywiste. Może sobie to uproszczę. Wiem, że \(\displaystyle{ |1| \not = 0}\) (z a)), dlatego mogę pomnożyć dwie strony przez \(\displaystyle{ |1|^{-1}}\), a to daje \(\displaystyle{ |1| = 1}\) i tyle.

Teraz \(\displaystyle{ |-1|^2 = 1}\). Tutaj mam dwa problemy. Po pierwsze bierzesz pod uwagę tylko \(\displaystyle{ 1}\) lub \(\displaystyle{ -1}\). Ale żeby to zrobić musisz wiedzieć, że tylko te dwie liczby podniesione do kwadratu dają \(\displaystyle{ 1}\), a skąd to wiesz? W wypadku ciał uporządkowanych chyba łatwo można to pokazać, jednak tutaj nie koniecznie musimy mieć ciało uporządkowane. Następnie napisałeś, że wartość bezwzględna jest nieujemna, więc wybieramy \(\displaystyle{ 1}\). A skąd wiesz, że \(\displaystyle{ -1<0}\)? Czy to nie jest właśność uporządkowanych liczb rzeczywistych?