Matematyka.pl

Udowodnij, że dla dowolnej liczby dodatniej \(\displaystyle{ n}\) liczba \(\displaystyle{ 73 ^{6 ^{n} } - 37^{6 ^{n} }}\) jest podzielna przez \(\displaystyle{ 35}\).

-- 22 wrz 2016, o 22:25 --

Doszedłem tylko so tego, że musi zachodzić:
\(\displaystyle{ 3 ^{6 ^{n} } \equiv 2 ^{6 ^{n} } \pmod{35}}\) i dalej nie wiem co robić.

Pokaż osobno podzielność przez pięć i siedem.

Możesz również zauważyć, że:

\(\displaystyle{ \begin{cases} 3 ^{6} \equiv 29 \pmod{35} \\ 2^{6} \equiv 29 \pmod{35} \end{cases} \Rightarrow 3^{6} \equiv 2^{6} \pmod{35}}\)

A z własności kongruencji wynika już, że \(\displaystyle{ 3 ^{6 ^{n} } \equiv 2 ^{6 ^{n} } \pmod{35}}\) .

Można też indukcyjnie wykazać że:
\(\displaystyle{ 3^{6^n}-2^{6^n}=35\cdot N}\)
1.Sprawdzenie
\(\displaystyle{ 3^{6^1}-2^{6^1}=3^{6}-2^{6}=(3^3-2^3)(3^3+2^3)=19\cdot 35}\)
2.Założenie:
\(\displaystyle{ 3^{6^n}-2^{6^n}=35\cdot N}\)
3.Teza:
\(\displaystyle{ 3^{6^{n+1}}-2^{6^{n+1}}=35\cdot N'}\)
4.Dowód:
\(\displaystyle{ L=3^{6^{n+1}}-2^{6^{n+1}}=3^{6^{n}\cdot 6}-2^{6^{n}\cdot 6}=3^63^{6^{n}}-2^62^{6^{n}}=729\cdot 3^{6^{n}}-64\cdot 2^{6^{n}}=\\=(35\cdot 20+29)\cdot 3^{6^{n}}-(35+29)\cdot 2^{6^{n}}=........=P}\)