Wyznaczenie ciąg arytmetycznego i geometrycznego.

[dawido000]

Wyznacz dwa ciągi: arytmetyczny \(\displaystyle{ a_{1}, a_{2}, a_{3}}\) i geometryczny \(\displaystyle{ b_{1}, b_{2}, b_{3}}\) takie, aby \(\displaystyle{ a_{1}b_{1}=1, a_{2}b_{2}=4, a_{3}b_{3}=12, a_{1}+a_{2}+a_{3}=6}\)

Ułożyłem 4 równania, ale nie potrafię ich wyprowadzić i obliczyć. Dokładnie to podstawiłem jedno pod drugie i zostało mi 3 równania. Strasznie dużo pisania. Można to rozwiązać, ale myślę że jest łatwiejszy sposób. I takiego właśnie sposobu potrzebuję.

[mostostalek]

\(\displaystyle{ \begin{cases} a_{1}+a_{2}+a_{3}=6\\a_{2}-a_{1}=a_{3}-a_{2}\\\frac{\frac{4}{a_2}}{\frac{1}{a_1}}=\frac{\frac{12}{a_3}}{\frac{4}{a_2}}{\end{cases}}\)

ostatnie zapisując ładniej:
\(\displaystyle{ \frac{4a_1}{a_2}=\frac{3a_2}{a_3}}\)

[ Dodano: 7 Września 2007, 19:32 ]
z drugiego: \(\displaystyle{ a_3=2a_2-a_1}\)

do pierwszego:

\(\displaystyle{ a_1+a_2+2a_2-a_1=6}\)
stąd \(\displaystyle{ a_2=2}\)

z trzeciego:

\(\displaystyle{ a_1=\frac{3}{a_3}}\)

do pierwszego:

\(\displaystyle{ \frac{3}{a_3}+2+a_3=6}\)
\(\displaystyle{ 3+(a_3)^2=4a_3}\) żeby nie pisać \(\displaystyle{ a_3}\) zamienie na x:

\(\displaystyle{ x^2-4x+3=0}\)
\(\displaystyle{ \Delta=4}\)
\(\displaystyle{ \sqrt{\Delta}=2}\)
\(\displaystyle{ x_1=1\ \ \ \ x_2=3}\)

do pierwszego:

\(\displaystyle{ a_1+2+1=6\ \ \ a_1=3}\) lub
\(\displaystyle{ a_1+2+3=6\ \ \ a_1=1}\)

\(\displaystyle{ a_1=1\ \ \ a_2=2\ \ \ a_3=3}\)
\(\displaystyle{ b_1=1\ \ \ b_2=2\ \ \ b_3=4}\)

bądź:

\(\displaystyle{ a_1=3\ \ \ a_2=2\ \ \ a_3=1}\)
\(\displaystyle{ b_1=\frac{1}{3}\ \ \ b_2=2\ \ \ b_3=12}\)