granica funkcji

Wyznaczanie granic funkcji. Ciągłość w punkcie i ciągłość jednostajna na przedziale. Reguła de l'Hospitala.
Dziura-LBN
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 9
Rejestracja: 4 wrz 2007, o 17:40
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Lublin

granica funkcji

Post autor: Dziura-LBN » 7 wrz 2007, o 17:05

\(\displaystyle{ $\lim_{x\to 0}\frac{\sqrt{1-\sqrt{\cos{x}}}}{x}$}\)

Z gory dzieki!
Rekrutacja Instytut Matematyczny, Uniwersytet Wrocławski (gif)

Awatar użytkownika
Calasilyar
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 2656
Rejestracja: 2 maja 2006, o 21:42
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław/Sieradz
Podziękował: 29 razy
Pomógł: 410 razy

granica funkcji

Post autor: Calasilyar » 7 wrz 2007, o 17:20

\(\displaystyle{ \lim\limits_{x\to 0} \frac{\sqrt{1-\sqrt{cosx}}}{x}=\lim\limits_{x\to 0} \sqrt{\frac{1-\sqrt{cosx}}{x^{2}}}=\sqrt{\lim\limits_{x\to 0} \frac{1-\sqrt{cosx}}{x^{2}}}=H=
\sqrt{\lim\limits_{x\to 0} \frac{sinx}{4x\sqrt{cosx}}}=\sqrt{\lim\limits_{x\to 0} \frac{sinx}{x}\cdot \frac{1}{4\sqrt{cosx}}}=\sqrt{\frac{1}{4}}=\frac{1}{2}}\)

Awatar użytkownika
max
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 3306
Rejestracja: 10 gru 2005, o 17:48
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Lebendigentanz
Podziękował: 37 razy
Pomógł: 778 razy

granica funkcji

Post autor: max » 7 wrz 2007, o 23:45

\(\displaystyle{ \sqrt{x^{2}} = |x| \not\equiv x}\)

\(\displaystyle{ \lim_{x\to 0}\frac{\sqrt{1 - \sqrt{\cos x}}}{x} = \lim_{x\to 0}\left(\frac{\sqrt{1 - \sqrt{\cos x}}}{x}\cdot \frac{\sqrt{1 + \sqrt{\cos x}}}{\sqrt{1 + \sqrt{\cos x}}}\right) =\\
= \lim_{x\to 0}\frac{\sqrt{1 - \cos x}}{x\sqrt{1 + \sqrt{\cos x}}} =\lim_{x\to 0}\frac{\sqrt{2\sin^{2} \frac{x}{2}}}{x\sqrt{1 + \sqrt{\cos x}}} = \lim_{x\to 0}
\frac{\sqrt{2}|\sin \frac{x}{2}|}{2\cdot \frac{x}{2}\sqrt{1 + \sqrt{\cos x}}}}\)

Stąd:
\(\displaystyle{ \lim_{x\to 0^{+}}\frac{\sqrt{1 - \sqrt{\cos x}}}{x} = \frac{1}{2}\\
\lim_{x\to 0^{-}}\frac{\sqrt{1 - \sqrt{\cos x}}}{x} = -\frac{1}{2}}\)

ODPOWIEDZ