Matematyka.pl

Pewien kod składa się z trzech naturalnych potęg liczby 4 ułożonych od najmniejszej, do największej. Suma tych potęg jest równa 5376. Znajdź ten kod.

Najpierw naturalnie spróbowałem ułożyć to sobie w jakieś równanie. Efektem jest coś takiego:

\(\displaystyle{ 4^{a} + 4^{b} + 4^{c} = 5376}\)

Jedyne co mi przychodzi do głowy, żeby dalej to ugryźć, wygląda tak:

\(\displaystyle{ 4^{a + b + c} = 5376}\)

Jednak nie jestem pewny, czy w ogóle taki myk jest prawidłowy. A nawet jeśli jest obawiam się, że ta druga operacja nic mi nie daje.

Będę wdzięczny za pomoc.

Ten "myk" jest zdecydowanie nieprawidłowy.

Popatrz na to tak: \(\displaystyle{ 4^a+4^b+4^c=4^a(1+4^{b-a}+4^{c-a})=5376}\). Teraz znajdujesz najwyższą potęgą czwórki, która dzieli \(\displaystyle{ 5376}\) - to ci daje \(\displaystyle{ a}\). Potem dzielisz obustronnie przez \(\displaystyle{ 4^a}\), odejmujesz \(\displaystyle{ 1}\) i powtarzasz ten "myk".

JK

Dzięki za chęć pomocy. Ale dalej jestem za głupi.

Nie wiem dwóch rzeczy:

Jak znaleźć tą najwyższą potęgę?

Poza tym nie rozumiem w jaki sposób ta najwyższa potęga daje nam "a"? A lubię nie tylko wiedzieć jak coś zrobić, również chcę rozumieć "jak to działa".

Będę wdzięczny za cierpliwość i wytłumaczenie tego jak głąbowi.

VBeton pisze:Jak znaleźć tą najwyższą potęgę?

Bierzesz \(\displaystyle{ 5376}\), kalkulator i dzielisz przez \(\displaystyle{ 4}\) tak długo, dopóki wynik jest całkowity. To, ile razy uda Ci się podzielić, to właśnie najwyższa potęga.

VBeton pisze:Poza tym nie rozumiem w jaki sposób ta najwyższa potęga daje nam "a"? A lubię nie tylko wiedzieć jak coś zrobić, również chcę rozumieć "jak to działa".

A słyszałeś o rozkładzie liczby na czynniki pierwsze? W iloczynie \(\displaystyle{ 4^a(1+4^{b-a}+4^{c-a})}\) składnik \(\displaystyle{ 1+4^{b-a}+4^{c-a}}\) jest nieparzysty, więc nie wpływa na podzielność całości przez \(\displaystyle{ 4}\). Zatem jeśli przedstawisz liczbę \(\displaystyle{ 5376}\) w postaci \(\displaystyle{ 4^t\cdot\mbox{coś nieparzystego}}\) (w ogólności to lekkie oszustwo, bo nie każdą liczbę da się przedstawić w tej postaci, ale w tym przypadku akurat się da), no to musi być \(\displaystyle{ t=a}\) (z jednoznaczności rozkładu na czynniki pierwsze). A \(\displaystyle{ t}\) to ta najwyższa potęga, którą wyznaczasz na kalkulatorze...

JK

Jan Kraszewski pisze:A słyszałeś o rozkładzie liczby na czynniki pierwsze? W iloczynie \(\displaystyle{ 4^a(1+4^{b-a}+4^{c-a})}\) składnik \(\displaystyle{ 1+4^{b-a}+4^{c-a}}\) jest nieparzysty, więc nie wpływa na podzielność całości przez \(\displaystyle{ 4}\). Zatem jeśli przedstawisz liczbę \(\displaystyle{ 5376}\) w postaci \(\displaystyle{ 4^t\cdot\mbox{coś nieparzystego}}\) (w ogólności to lekkie oszustwo, bo nie każdą liczbę da się przedstawić w tej postaci, ale w tym przypadku akurat się da), no to musi być \(\displaystyle{ t=a}\) (z jednoznaczności rozkładu na czynniki pierwsze). A \(\displaystyle{ t}\) to ta najwyższa potęga, którą wyznaczasz na kalkulatorze...

Słyszałem o rozkładzie. Ale dalej nie rozumiem. Jednak to na razie pomińmy. Spróbuję to rozkminić o godzinie w której umysł bywa sprawniejszy, zanim poproszę o jeszcze bardziej łopatologiczne wyjaśnienie.

Jednak w samym obliczeniu też coś mi nie gra:

\(\displaystyle{ 5376 : 4 = 1344}\) Pierwsze dzielenie.
\(\displaystyle{ 1344 : 4 = 336}\) Drugie.
\(\displaystyle{ 336:4 = 84}\) Trzecie.
\(\displaystyle{ 84 : 4 = 21}\) Czwarte.
\(\displaystyle{ 21 : 4 = 5,25}\) Lipa.

\(\displaystyle{ 1 + 4^{b - 4} + 4^{c - 4} = 256
4^{b - 4} + 4^{c - 4} = 255}\)

\(\displaystyle{ 255 : 4 = 63,75}\) Lipa.

Próbowałem zinterpretować wynik drugiego "myku", jako b = 0, ale wtedy wychodzi mi przy obliczeniach kompletny kosmos.

Co robię źle?

Masz dzielić \(\displaystyle{ 5376}\)

To akurat był "chochlik", przy przepisywaniu z papieru na komputer. Przepraszam. Już poprawiłem.

Wyszło Ci, że \(\displaystyle{ a=4}\). Zatem
\(\displaystyle{ 4^4(1+4^{b-4}+4^{c-4})=5376}\)

Licz dalej

No przecież już obliczyłem dalej:

VBeton pisze:\(\displaystyle{ 1 + 4^{b - 4} + 4^{c - 4} = 256

4^{b - 4} + 4^{c - 4} = 255}\)

\(\displaystyle{ 4^4(1+4^{b-4}+4^{c-4})=5376 \\ 256 (1+4^{b-4}+4^{c-4})=5376 \\ 1+4^{b-4}+4^{c-4} = 21}\)

Jan Kraszewski pisze: i powtarzasz ten "myk"

Ej, a ja zaproponuję podobne rozwiązanie (oczywiście polega na tym samym co piszecie - dzieleniu przez \(\displaystyle{ 4}\) ile się da), ale ładnie widać.
Myk jest taki, że wystarczy się posłużyć systemem czwórkowym! W tym systemie, będzie nam dużo prościej liczyć. Wystarczy więc znaleźć czwórkową reprezentację liczby 5376 w systemie dziesiętnym.
Oto ona:
\(\displaystyle{ 5376_{10}=1110000_{4}}\)
Widząc tą reprezentację odpowiedź jest natychmiastowa, nieprawdaż?
Nie zmienia to faktu, że to tylko i wyłącznie dzielenie przez \(\displaystyle{ 4}\), aczkolwiek przykład ten pokazuje, że nie zawsze warto być na sztywno przyczepionym do konkretnego systemu liczbowego.

A żeby uzyskac czwórkowa reprezentację trzeba podzielić przez cztery, podzielić przez cztery, podzielić przez cztery ...