Matematyka.pl

Witam, mam problem z jedną funkcją, która wygląda następująco:
gdzie \(\displaystyle{ \phi(t,x_0)}\) jest funkcją: \(\displaystyle{ \mathbb{R} \times \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}}\).

Próbuję różniczkować to wyrażenie obustronnie względem \(\displaystyle{ x_{0}}\). Według książki z której to równanie pochodzi wynik powinien być następujący:
Nie potrafię pojąć dlaczego akurat tak wygląda to wyrażenie pod całką po zróżniczkowaniu. W książce którą czytam jest napisane, że wynika to z reguły łańcuchowej(ang. chain rule). Ale coś mi tu nie pasuje, bo jak różniczkuje to wyrażenie pod całką to z reguły łańcuchowej wychodzi:


Natomiast w książce jak widać jest ewidentnie dwa razy pochodna względem \(\displaystyle{ x_0}\). Pytanie dlaczego tak? Patrzałem w dwóch wydaniach książki, więc błąd to raczej nie jest.

Możliwe, że potrzebna tutaj jest informacja, że różniczkowana funkcja jest rozwiązaniem równania różniczkowego:
Byłbym wdzięczny za pomoc w rozjaśnieniu problemu. Pozdrawiam

Zgadza się, wynika to z reguły łańcucha, jednak w Twojej postaci:
\(\displaystyle{ \frac{\partial }{\partial x_0} f(s, \phi(s,x_0)) = \frac{\partial }{\partial \phi(s,x_0) } f(s, \phi(s,x_0)) \cdot \frac{\partial }{\partial x_0} \phi(s,x_0)}\)
jest ona całkowicie pozbawiona sensu, gdyż \(\displaystyle{ \frac{\partial }{\partial \phi(s,x_0) } f(s, \phi(s,x_0))}\) nie ma sensu.

Fragment:
\(\displaystyle{ \frac{\partial f}{\partial x_0} (s, \phi(s,x_0))}\)
też ma niefortunne oznaczenia. Trzeba go czytać jako pochodną cząstkową funkcji \(\displaystyle{ f}\) względem drugiej zmiennej w punkcie \(\displaystyle{ (s, \phi(s,x_0))}\).

Masz na myśli, że drugą zmienną jest funkcja \(\displaystyle{ \phi}\)?

W moim zapisie\(\displaystyle{ \frac{\partial f}{\partial x_0} (s, \phi(s,x_0))}\) założyłem, że \(\displaystyle{ s}\) to oczywiście jakaś ustalona wartość bo wiadomo, że całka to sumowanie po wszystkich \(\displaystyle{ s}\)
w zakresie od \(\displaystyle{ 0}\) do \(\displaystyle{ t}\).

Czy ustalając, że s jest ustalone można tą pochodną tak rozumieć:
?
Mi chodzi o zrozumienie tego, czy dobrze myślę, bo jak widzę taki zapis jak dali w tej książce to nie ogarnąłem tego i stwierdziłem, że czegoś tu nie kumam.

Nie. Masz \(\displaystyle{ f=f(u,v)}\) (żeby nie mieszać z \(\displaystyle{ x,y,s}\))

Wtedy
\(\displaystyle{ \frac{\partial }{\partial x_0} f(s, \phi(s,x_0)) = \frac{\partial }{\partial v } f(s, \phi(s,x_0)) \cdot \frac{\partial }{\partial x_0} \phi(s,x_0)}\)

Ok jasne To jest w porządku. Ale to co podają w książce jest bardzo mylące.
Można nawet spojrzeć, bo książka jest na sieci:

Strona 13, trzecie równanie od góry

Do tego trzeba się przyzwyczaić - z kontekstu po prostu wynika o jaką pochodną chodzi; nikt nie będzie dodatkowo wprowadzał \(\displaystyle{ u}\) i \(\displaystyle{ v}\), więc pisze się tak jak się pisze...

Widocznie To jest książka pisana przez ludzi co siedzą całe życie w matematyce więc zapewne jakieś im się wykształciły skrótowe oznaczenia Stephen Smale to przecież jest laureatem medalu Fieldsa.

-- 25 września 2016, 17:36 --

Powróciłem dalej do tej książki, żeby to pociągnąć dalej i jedna rzecz coś mi się nie zgadza.
Dalej jak się czyta to pojawia się równanie różniczkowe: z warunkiem początkowym z(0) = 1
Piszą, że rozwiązaniem tego równania jest: funkcja w postaci:


Próbuję to rozwiązywać więc rozdzielam najpierw zmienne w tym równaniu i otrzymuje:


Teraz
następnie całkuje to obustronnie w granicach od \(\displaystyle{ 0}\) do \(\displaystyle{ t}\). Wychodzi z tego, że:


Jak zamienię to z własności logarytmów, to mam:


czyli po lewej stronie wyjdzie mi :\(\displaystyle{ z|_0^t =z(t) - z(0) = z(t) - 1}\). I tu się robi problem bo to się nie zgadza z tym co podałem na początku. Czy popełniam tu jakiś błąd? Byłbym wdzięczny za pomoc w wyjaśnieniu. Pozdrawiam.