Matematyka.pl

Witam.

Mam takie zadanie:

Które z wyrazów ciągu \(\displaystyle{ \left( a_{n}\right)}\) są równe 0, jeśli:
\(\displaystyle{ a_{n} = \left( n^{2} -2\right )\left( n^{2} -4\right)\left( n - 3 \right) = 0}\)

Na sam początek zaznaczam, że nie chodzi mi o rozwiązanie tego zadania, bo wiem doskonale jak je rozwiązać. Tłumaczyła mi to masa osób ( w zasadzie każdy kogo poprosiłem, żeby mi wytłumaczył dlaczego tak to się robi a nie inaczej ).

Aby to rozwiązać każdy nawias oddzielnie porównujemy do zera. Moje pytanie brzmi dlaczego? Jaka zasada matematyczna pozwala mi od tak sobie rozbić mnożenie przez siebie trzech nawiasów na trzy oddzielne równania?

Najczęściej słyszane odpowiedzi:

- Bo to tak się robi.
- Bo jest taka zasada, że tak się to robi.
- Bo nie obliczysz tego inaczej.
- To oczywiste.

Nawet nauczycielka matematyki w kółko odpowiadała w ten sposób.
Wiem, że w matematyce nie ma rzeczy oczywistych i za wszystkim stoi jakaś głębsza logika ( wszak \(\displaystyle{ 4 \times 4 = 16}\), bo \(\displaystyle{ 4 + 4 + 4 +4 = 16}\) a nie dlatego, że to oczywiste ). Czy jest na tym forum ktoś kto tak jak ja lubi rozumieć co robi i dlaczego, zamiast bezmyślnie klepać regułki?

Jeśli tak, to gdybym był królem dałbym mu rękę królewny za wyjaśnienie dlaczego da się każdy nawias rozbić na oddzielne równanie.

Pozdrawiam.

Wynika to z tego że w świecie liczb rzeczywistych zachodzi takie twierdzonko:

Iloczyn \(\displaystyle{ a \cdot b}\) jest równy \(\displaystyle{ 0}\) wtedy i tylko wtedy, gdy \(\displaystyle{ a=0}\) lub \(\displaystyle{ b=0}\).

Za pomocą prostej indukcji można pokazać więcej, a mianowicie, że:

Iloczyn \(\displaystyle{ a_1 \cdot \dots \cdot a_n}\) jest równy \(\displaystyle{ 0}\) wtedy i tylko wtedy, gdy \(\displaystyle{ a_1=0}\) lub \(\displaystyle{ \dots}\) \(\displaystyle{ a_n=0}\)

W Twoim przypadku mamy zagadnienie \(\displaystyle{ a_{n} = \left( n^{2} -2\right)\left( n^{2} -4\right)\left( n - 3 \right) = 0}\), korzystając w powyższego twierdzenia otrzymujemy, że iloczyn tych wyrażeń jest równy zero, gdy conajmniej jedno z nich jest równe zero. Rozwiązując po kolei każdy nawias otrzymujesz pewne wartości \(\displaystyle{ n}\) które "zerują" nawias. Tak więc otrzymujesz zbiory \(\displaystyle{ X_1,\dots,X_n}\) liczb naturalnych o tej własności że zbiór \(\displaystyle{ X_i}\) to zbiór tych liczb naturalnych które "zerują" \(\displaystyle{ i}\)-ty nawias. Powołując się na powyższe twierdzenie widać, że szukanym zbiorem rozwiązań jest \(\displaystyle{ X_1 \cup \dots \cup X_n}\).

Dzięki mistrzu!

Jedno proste stwierdzenie i już wszystko wiem.

Tej matematyczce, która odpowiadała mi, że "to intuicyjne" powinni odebrać prawo do wykonywania zawodu. Jak ona ma to tłumaczyć dzieciom jak dorosłemu chłopu tego nie była w stanie nawet przybliżyć?

Temat można zamknąć.

Tak, istnieje taka zasada. Mówi ona, że \(\displaystyle{ a\cdot 0=0}\).
A ponadto jeśli \(\displaystyle{ a\neq 0 \wedge b\neq 0}\), to \(\displaystyle{ a\cdot b\neq 0}\).

Pierwsze udowadnia się z prawa rozłączności mnożenia względem dodawania:
\(\displaystyle{ a\cdot 0=a\cdot (0+0)=a\cdot 0+a\cdot 0\Rightarrow a\cdot 0=0}\).

A drugie idzie w ten sposób. Załóżmy, że \(\displaystyle{ a\neq 0 \wedge a\cdot b=0}\). Wtedy istnieje \(\displaystyle{ \frac{1}{a}}\). Mnożąc przez nie obustronnie równanie \(\displaystyle{ a\cdot b=0}\) otrzymujemy \(\displaystyle{ b=0}\).

Może to głupie pytanie, ale skąd wiemy, że liczba odwrotna do \(\displaystyle{ a \neq 0}\) istnieje?

dobre pytanie. ktoś wie ?

To, że \(\displaystyle{ a, b \neq 0}\) pociągają \(\displaystyle{ ab \neq 0}\) można pokazać wprost: wystarczy ograniczyć się do przypadku \(\displaystyle{ a, b > 0}\), wziąć po jednej liczbie wymiernej z przedziałów \(\displaystyle{ (0, a)}\) i \(\displaystyle{ (0, b)}\)* i zauważyć, że ich iloczyn leży między \(\displaystyle{ 0}\) i \(\displaystyle{ ab}\), choć pewnie można jeszcze prościej.

* \(\displaystyle{ \mathbb Q \subseteq \mathbb R}\) jest gęstym podzbiorem.

Medea 2 pisze:Może to głupie pytanie, ale skąd wiemy, że liczba odwrotna do \(\displaystyle{ a \neq 0}\) istnieje?

Z konstrukcji liczb rzeczywistych.

To, że liczba odwrotna do \(\displaystyle{ a\neq 0}\) istnieje, wynika z tego, że zbiór liczb rzeczywistych jest ciałem. A w definicji ciała mamy powiedziane jasno, że każdy niezerowy element posiada element odwrotny.

Michalinho pisze:To, że liczba odwrotna do \(\displaystyle{ a\neq 0}\) istnieje, wynika z tego, że zbiór liczb rzeczywistych jest ciałem. A w definicji ciała mamy powiedziane jasno, że każdy niezerowy element posiada element odwrotny.

Nie, jest na odwrót. To z faktu istnienia odwrotności (i paru innych faktów) wynika, że \(\displaystyle{ \RR}\) jest ciałem. Liczby rzeczywiste się konstruuje (najpopularniejsze konstrukcje to przez przekroje Dedekinda lub przez relacje równoważności na zbiorze ciągów Cauchyego o wyrazach wymiernych). W każdej z tych konstrukcj pokazuje sie istnienie odwrotności dla niezerowych liczb.