Udowadnianie równości

Różniczkowalność, pochodna funkcji. Przebieg zmienności. Zadania optymalizacyjne. Równania i nierówności z wykorzystaniem rachunku różniczkowego.
thesiu
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 8
Rejestracja: 4 wrz 2007, o 22:06
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Dębica
Podziękował: 4 razy

Udowadnianie równości

Post autor: thesiu » 7 wrz 2007, o 13:48

Witam wszystkich!

Bardzo prosze o pomoc i rozpisanie dwoch zadan:

1. Sprawdzić, że funkcja \(\displaystyle{ u(x,y) = \sqrt{{x^{2}+y^{2}}}\)\(\displaystyle{ + y \ln \frac{y}{x}}\) spełnia równanie \(\displaystyle{ x \frac{\partial u}{\partial x} + y \frac{\partial u}{\partial y} = u}\)


2. Sprawdzić, że funkcja \(\displaystyle{ u(x,y) = \frac{1}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}} + \frac{1}{x} \ln \frac{y}{x}}\) spełnia równanie \(\displaystyle{ x \frac{\partial u}{\partial x} + y \frac{\partial u}{\partial y} + u = 0}\)
Rekrutacja Instytut Matematyczny, Uniwersytet Wrocławski (gif)

Awatar użytkownika
Anathemed
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 101
Rejestracja: 12 lip 2007, o 21:09
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Pomógł: 34 razy

Udowadnianie równości

Post autor: Anathemed » 7 wrz 2007, o 14:23

No cóż, najprostsze rozwiązanie jest siłowe czyli liczymy po kolei te pochodne:

Ad1) Korzystamy przede wszystkim ze wzoru na pochodną funkcji złożonej, oraz wzoru na pochodną iloczynu:
\(\displaystyle{ \frac{\partial u}{\partial x} = 2x*\frac{1}{2\sqrt{x^{2}+y^{2}}} + y*-1\frac{1}{x^2}*\frac{1}{\frac{y}{x}} = \frac{x}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}} - \frac{1}{x}}\)
\(\displaystyle{ \frac{\partial u}{\partial y} = 2y*\frac{1}{2\sqrt{x^{2}+y^{2}}} + \ln \frac{y}{x} + y*\frac{1}{x}*\frac{1}{\frac{y}{x}}=\frac{y}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}} + \ln \frac{y}{x} + 1}\)

Teraz wystarczy podstawić te pochodne, oraz funkcję u do drugiego równania, aby się przekonać że rzeczywiście ona zachodzi.

Ad2) Analogicznie

thesiu
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 8
Rejestracja: 4 wrz 2007, o 22:06
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Dębica
Podziękował: 4 razy

Udowadnianie równości

Post autor: thesiu » 7 wrz 2007, o 15:15

Wielkie dzieki

ODPOWIEDZ