Witam wszystkich!
Bardzo prosze o pomoc i rozpisanie dwoch zadan:
1. Sprawdzić, że funkcja \(\displaystyle{ u(x,y) = \sqrt{{x^{2}+y^{2}}}\)\(\displaystyle{ + y \ln \frac{y}{x}}\) spełnia równanie \(\displaystyle{ x \frac{\partial u}{\partial x} + y \frac{\partial u}{\partial y} = u}\)
2. Sprawdzić, że funkcja \(\displaystyle{ u(x,y) = \frac{1}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}} + \frac{1}{x} \ln \frac{y}{x}}\) spełnia równanie \(\displaystyle{ x \frac{\partial u}{\partial x} + y \frac{\partial u}{\partial y} + u = 0}\)
Udowadnianie równości
-
Anathemed
- Użytkownik
- Posty: 101
- Rejestracja: 12 lip 2007, o 21:09
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Pomógł: 34 razy
Udowadnianie równości
No cóż, najprostsze rozwiązanie jest siłowe czyli liczymy po kolei te pochodne:
Ad1) Korzystamy przede wszystkim ze wzoru na pochodną funkcji złożonej, oraz wzoru na pochodną iloczynu:
\(\displaystyle{ \frac{\partial u}{\partial x} = 2x*\frac{1}{2\sqrt{x^{2}+y^{2}}} + y*-1\frac{1}{x^2}*\frac{1}{\frac{y}{x}} = \frac{x}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}} - \frac{1}{x}}\)
\(\displaystyle{ \frac{\partial u}{\partial y} = 2y*\frac{1}{2\sqrt{x^{2}+y^{2}}} + \ln \frac{y}{x} + y*\frac{1}{x}*\frac{1}{\frac{y}{x}}=\frac{y}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}} + \ln \frac{y}{x} + 1}\)
Teraz wystarczy podstawić te pochodne, oraz funkcję u do drugiego równania, aby się przekonać że rzeczywiście ona zachodzi.
Ad2) Analogicznie
Ad1) Korzystamy przede wszystkim ze wzoru na pochodną funkcji złożonej, oraz wzoru na pochodną iloczynu:
\(\displaystyle{ \frac{\partial u}{\partial x} = 2x*\frac{1}{2\sqrt{x^{2}+y^{2}}} + y*-1\frac{1}{x^2}*\frac{1}{\frac{y}{x}} = \frac{x}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}} - \frac{1}{x}}\)
\(\displaystyle{ \frac{\partial u}{\partial y} = 2y*\frac{1}{2\sqrt{x^{2}+y^{2}}} + \ln \frac{y}{x} + y*\frac{1}{x}*\frac{1}{\frac{y}{x}}=\frac{y}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}} + \ln \frac{y}{x} + 1}\)
Teraz wystarczy podstawić te pochodne, oraz funkcję u do drugiego równania, aby się przekonać że rzeczywiście ona zachodzi.
Ad2) Analogicznie