Matematyka.pl

Potrafię rozwiązać równanie:
\(\displaystyle{ z_{xy}+ \frac{1}{x}z_y=0}\)

Niestety gdy w ten sam sposób rozwiązałbym równanie:
\(\displaystyle{ z_{xy}+ \frac{1}{x}z_x=0}\)
to otrzymuję sprzeczność. Czy mógłby mi ktoś podpowiedzieć jak elementarnymi metodami rozwiązać to drugie równanie?

Pokaż gdzie ta sprzeczność Ci wychodzi

Widzę to tak:
\(\displaystyle{ z_{xy}+ \frac{1}{x}z_x=0}\)
Gdy podstawię:
\(\displaystyle{ z_x=t}\)
Mam:
\(\displaystyle{ t_{y}+ \frac{1}{x}t=0 \\
\frac{dt}{dy}=-\frac{t}{x} \\
\frac{dt}{t}=-\frac{dy}{x} \\
\ln \left| t\right| =-\frac{y}{x}+C_1(x) \\
t= \pm e^{- \frac{y}{x} \cdot C_1(x) }}\)
Cofając się z podstawienia:
\(\displaystyle{ z_x= e^{- \frac{y}{x}} \cdot C_1(x) \\
z= e^{- \frac{y}{x}} \cdot C_2(x)+C_3(y)}\)
Sprawdzając liczę \(\displaystyle{ z_x}\):
\(\displaystyle{ z_x= e^{- \frac{y}{x}} \cdot (C_2'(x)+ \frac{C_2(x)y}{x^2} )}\)
Wyżej napisałem, że:
\(\displaystyle{ z_x= e^{- \frac{y}{x}} \cdot C_1(x)}\)
Stąd:
\(\displaystyle{ C_1(x)=(C_2'(x)+ \frac{C_2(x)y}{x^2} )}\)
I tutaj mam sprzeczność, bo \(\displaystyle{ C_1(x}\)) powinno być tylko funkcją \(\displaystyle{ x}\), a nie \(\displaystyle{ x}\) i \(\displaystyle{ y}\)

No sprzeczność masz bo zle calkujesz gdy uzyskujesz \(\displaystyle{ z}\)

okej, a jakaś podpowiedź jak policzyć taką całkę:
\(\displaystyle{ z= \int (e^{- \frac{y}{x}} \cdot C_1(x))dx}\)