Matematyka.pl

Witam wszystkich,
Jeśli \(\displaystyle{ a \equiv b\pmod{c}}\) dla naturalnych liczb \(\displaystyle{ a,b,c}\) oraz \(\displaystyle{ c}\) jest DOWOLNĄ liczbą naturalną a \(\displaystyle{ a,b}\) są dane, to czy \(\displaystyle{ a=b}\)?

jeśli dla dowolnego \(\displaystyle{ c}\) jest \(\displaystyle{ a \equiv b\pmod{c}.}\) to mamy:

gdyby np. \(\displaystyle{ a>b}\) to \(\displaystyle{ a \equiv b \pmod{a-b}}\) (bo \(\displaystyle{ a-b}\) dzieli niezerowe \(\displaystyle{ a-b}\)) ale dla \(\displaystyle{ d>a-b}\) już nie zajdzie \(\displaystyle{ a\equiv b\pmod{d}}\)

Inny dowód.
Skoro \(\displaystyle{ c}\) jest dowolne to biorąc \(\displaystyle{ c = b}\) dostajemy \(\displaystyle{ b|a}\). Analogicznie dla \(\displaystyle{ c=a}\) dostajemy \(\displaystyle{ a|b}\). Stąd \(\displaystyle{ a=b}\).