warunek na katy

Dział całkowicie poświęcony zagadnieniom związanymi z trójkątami. Temu co się w nie wpisuje i na nich opisuje - też...
Awatar użytkownika
altair3
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 8
Rejestracja: 21 cze 2006, o 02:09
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Krosno
Podziękował: 4 razy

warunek na katy

Post autor: altair3 » 6 wrz 2007, o 23:19

Wykaż, ze jesli w trójkacie zachodzi ten warunek , to wtedy kąt A jest dwa razy wiekszy niż kąt B. Czy prawda jest twierdzenie odwrotne? i czemu?
\(\displaystyle{ a^2=b^2+bc}\)

Awatar użytkownika
mol_ksiazkowy
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 6174
Rejestracja: 9 maja 2006, o 12:35
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 2552 razy
Pomógł: 673 razy

warunek na katy

Post autor: mol_ksiazkowy » 7 wrz 2007, o 13:42

\(\displaystyle{ (\frac{a}{c})^2 = (\frac{b}{c})^2+ \frac{b}{c}}\)
\(\displaystyle{ sin^2(A)=sin^2B + sinB \ sinC}\)
\(\displaystyle{ sin^2(A)- sin^2 (B)=sinB \ sinC \\
\equiv sin(A-B)sin(A+B)}\)

sinC =sin(A+B)
sin(A-B)=sin B
A-B=B
Ostatnio zmieniony 7 wrz 2007, o 14:31 przez mol_ksiazkowy, łącznie zmieniany 1 raz.

Awatar użytkownika
Tristan
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 2357
Rejestracja: 24 kwie 2005, o 14:28
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 27 razy
Pomógł: 556 razy

warunek na katy

Post autor: Tristan » 7 wrz 2007, o 14:00

A ja podam rozwiązanie korzystające z twierdzenia Carnota (zwanym również twierdzeniem cosinusów). Mamy stąd, że zachodzi \(\displaystyle{ a^2 =b^2 +c^2 - 2bc \cos A}\). Wemy jednak, że \(\displaystyle{ a^2 = b^2 +bc}\)więc:
\(\displaystyle{ b^2 +c^2 - 2bc \cos A=b^2 +bc \\ c^2 =bc (1+ 2 \cos A) \\ c=b(1+ 2 \cos A)}\)
Znów korzystając z twierdzenia Carnota i poprzedniego wyniku mamy:
\(\displaystyle{ b^2 =a^2 +c^2 - 2ac \cos B \\ b^2 = b^2 +bc+c^2 - 2ac \cos B \\ 2ac \cos B=bc+c^2 \\ 2a \cos B=b+c \\ 2a \cos B=b+b(1+ 2 \cos A) = 2b( 1+ \cos A) \\ a \cos B=b(1+ \cos A) \\ b= \frac{ a \cos B}{ 1+ \cos A}}\)
Wynika z tego, że \(\displaystyle{ c= \frac{ a \cos B (1+ 2 \cos A)}{ 1+ \cos A }}\). Podstawiając tak przedstawione wartości b i c do danego równania, otrzymujemy:
\(\displaystyle{ a^2 = b^2 + bc \\ a^2 = \frac{ a^2 \cos^2 B}{ (1+ \cos A)^2 } + \frac{ a^2 \cos^2 B(1+ 2 \cos A)}{ (1+ \cos A)^2 } \\ (1+ \cos A)^2= \cos^2 B + \cos^2 B(1+ 2 \cos A)=2 \cos^2 B(1+ \cos A) \\ 1+ \cos A=0 1+ \cos A= 2 \cos^2 B \\ \cos A=-1 \cos A= 2 \cos^2 B -1}\)
Z pierwszego równania otrzymujemy, że \(\displaystyle{ A (0^{\circ} ; 180^{\circ})}\), więc jest ono sprzeczne z założeniem, że A jest kątem trójkąta. Pozostaje nam więc równanie \(\displaystyle{ \cos A= 2 \cos^2 B-1}\). Jednak z wzoru na cosinus podwojonego argumentu wiemy, że \(\displaystyle{ \cos 2x= 2 \cos^2 x - 1}\), skąd \(\displaystyle{ 2 \cos^2 B-1= \cos 2B}\). Wynika z tego, że \(\displaystyle{ \cos A= \cos 2B}\), a ponieważ są to kąty trójkąta, to z tej równości otrzymujemy, iż \(\displaystyle{ A=2B}\) c.n.d.

Awatar użytkownika
mol_ksiazkowy
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 6174
Rejestracja: 9 maja 2006, o 12:35
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 2552 razy
Pomógł: 673 razy

warunek na katy

Post autor: mol_ksiazkowy » 7 wrz 2007, o 14:38

altair3 napisał:
Czy prawda jest twierdzenie odwrotne? i czemu?
tak wystarczy nieco sie przyjrzec rachunkom, jakie poczynione były, W tym wypadku uzyskamy niewielka zmiane, tj równania pozniej ..poniewaz jednak kat A jest dwa razy wiekszy niz B, to wyrazenie z nawiasu sie zeruje i w konsekwencji tego ....epsilon tez
ckd.
\(\displaystyle{ a^2 = b^2+ bc+ \epsilon}\)
tj
\(\displaystyle{ sin(A+B )(sin(A-B)-sinB )=\\
\epsilon^2 sin^2 C}\)


\(\displaystyle{ \epsilon =0}\)

ODPOWIEDZ