Matematyka.pl

Witam, czy ktoś jest w stanie wytłumaczyć o co chodzi w funkcjach tworzących na przykładnie poniższych zadań, bo za nic nie mogę tego pojąć :/

1. Policz funkcje tworzącą następujących ciągów
a)\(\displaystyle{ a _{n}=2 ^{n}}\)
b)\(\displaystyle{ d _{n}= \frac{1}{n}}\) dla \(\displaystyle{ n \ge 1}\) oraz \(\displaystyle{ c _{0} =0}\)

2.Wyznacz postać zwartą funkcji tworzącej
\(\displaystyle{ a_{n}= \sum_{k=0}^{n}k3 ^{k}}\)

Funkcja tworząca jest dana wzorem:
\(\displaystyle{ G(x)=\sum_{n=0}^\infty g_n x^n.}\), gdzie \(\displaystyle{ g_n}\) to pewien ciąg. Wystarczy zatem wstawić swój ciąg to wzoru.

\(\displaystyle{ G(x)=\sum_{n=0}^\infty 2^n x^n=\sum_{n=0}^\infty (2x)^n}\).
Pewnie chodzi o zapisanie tego jako postać zwartą. Powyższy szereg jest zbieżny, gdy \(\displaystyle{ |x|<\frac{1}{2}}\).

Wtedy otrzymujemy szereg zbieżny i możemy policzyć jego sumę. Jest to szereg geometryczny, więc chyba z tym poradzisz sobie.

Przykład b:
\(\displaystyle{ G(x)=\sum_{n=0}^\infty d_n x^n=d_0x^{0} + \sum_{n=1}^\infty d_n x^n =
d_0x^{0} + \sum_{n=1}^\infty d_n x^n=\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n} x^n}\).
I już. Pozostaje pytanie, czy masz to dalej próbować przekształcać czy nie - chyba nie.

Zadanie 2.
Wskazówka policz najpierw sumę \(\displaystyle{ \sum_{k=0}^{n}k3 ^{k}}\) np. metodą zaburzania. Potem mając ją policzoną przejdź do funkcji tworzącej.

Warto przypomnieć sobie szereg Mercatora dla \(\displaystyle{ \log (1+x)}\).