Matematyka.pl

Hej,

Zastanawiam się nad jednym zagadnieniem i nie potrafię znaleźć wyników w tej sprawie.

Czy badał już ktoś jak zachowuje się funkcja tworząca dla ciągu powstałego z funkcji eulera wyznaczającego liczbe liczb względnie pierwszych z daną mniejszą od niej?

\(\displaystyle{ \sum_{n=0}^{ \infty } \phi(n) x^{n}}\)

OEIS twierdzi, że jeszcze nikt, możesz być pierwszy, natomiast podaje wzór

\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^\infty \frac {\varphi (n)}{n^s} = \frac{\zeta(s-1)}{\zeta (s)}}\)

oraz zależność

\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^\infty \varphi(n) \cdot \frac{x^n}{1-x^n} = \frac{x}{(1-x)^2}}\).

Udowodnienie którejkolwiek z nich powinno być świetną zabawą w ten deszczowy dzień.