Matematyka.pl

Witam,

Przystępuje właśnie do następującego zadania (które jest podane wraz z przykładowym rozwiązaniem):

Sprawdzić, czy wektory własne podanych przekształceń liniowych tworzą bazy przestrzeni \(\displaystyle{ R^2}\) lub \(\displaystyle{ R^3}\). Jeżeli tak, napisać macierze rozważanych przekształceń w tych bazach:

\(\displaystyle{ L(x,y) = (3x-y, 3x)}\)

Moje rozwiązanie:

Na początku wyznaczam macierz przekształcenia \(\displaystyle{ A}\) w bazie standardowej do wzoru \(\displaystyle{ det(A-\lambda I)}\) (przesadnie rozpisane, bo tutaj jest problem):

\(\displaystyle{ A = \begin{bmatrix} a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22}\end{bmatrix}}\)

\(\displaystyle{ L(1,0) = (3,3) = a_{11}(1,0) + a_{21}(0,1)}\)
Stąd \(\displaystyle{ a_{11}=3; a_{21}=3}\)
\(\displaystyle{ L(0,1) = (-1,0) = a_{12}(1,0) + a_{22}(0,1)}\)
Stąd \(\displaystyle{ a_{12} = -1; a_{22}=0}\)

Czyli \(\displaystyle{ A = \begin{bmatrix} 3&-1\\3&0\end{bmatrix}}\)

Podstawiam do wzoru: \(\displaystyle{ det(A-\lambda I) = \begin{bmatrix} 3-\lambda&-1\\3&-\lambda\end{bmatrix} = \lambda^{2} - 3\lambda + 3 \neq 0}\)

Czyli przekształcenie nie posiada wartości własnych. Natomiast przykładowe rozwiązanie w książce, wygląda tak:

\(\displaystyle{ det(A-\lambda I) = \begin{bmatrix} 3-\lambda&-1\\0&3-\lambda\end{bmatrix}}\)

Z czego wychodzi wartość własna i inne rozwiązanie. I tutaj moje pytanie - czy rzeczywiście robię błąd w wyznaczniku macierzy A? A może w innym miejscu. Nie pytałbym się, gdyby to był tylko jeden taki przypadek, ale powiedzmy w 10% przykładów moje macierze są troche "poprzestawiane", jak tutaj.

Z góry dziękuje za wyjaśnienie

Racja jest po Twojej stronie. W wersji "książkowej" rozważano zapewne przekształcenie \(\displaystyle{ L(x,y) = (3x-y, 3y)}\). Ot mógł się zdarzyć chochlik drukarski.

lukasz1804 pisze:Racja jest po Twojej stronie. W wersji "książkowej" rozważano zapewne przekształcenie \(\displaystyle{ L(x,y) = (3x-y, 3y)}\). Ot mógł się zdarzyć chochlik drukarski.

Dziękuje za pomoc. Miło mi to słyszeć. Jak wspominałem to mam podobny problem już przynajmniej 3 raz. Czy mógłbyś spojrzeć, czy tutaj to również tylko "chochlik"?

Przekształcenie liniowe \(\displaystyle{ L : U \rightarrow V}\) ma w bazie \(\displaystyle{ \left\{ \vec{u_1}, \vec{u_2}, \vec{u_{3}}\right\}}\) przestrzeni liniowej \(\displaystyle{ U}\) i w bazie \(\displaystyle{ \left\{ \vec{v_1}, \vec{v_2}\right\}}\) przestrzeni \(\displaystyle{ V}\) macierz:

\(\displaystyle{ A = \begin{bmatrix} 1&2&3\\4&5&6\end{bmatrix}}\)

Znaleźć macierz \(\displaystyle{ A'}\) tego przekształcenia w bazach \(\displaystyle{ \left\{ 2\vec{u_1}, \vec{u_3}, \vec{u_2}+\vec{u_{3}}\right\}}\) I \(\displaystyle{ \left\{ \vec{v_1}-\vec{v_2}, 2\vec{v_1}+\vec{v_2}\right\}}\)

Rozwiązanie:

Niech \(\displaystyle{ P, Q}\) oznaczają odpowiednio macierze przejścia z bazy \(\displaystyle{ \left\{ \vec{u_1}, \vec{u_2}, \vec{u_{3}}\right\}}\) do bazy \(\displaystyle{ \left\{ 2\vec{u_1}, \vec{u_3}, \vec{u_2}+\vec{u_{3}}\right\}}\) i z bazy \(\displaystyle{ \left\{ \vec{v_1}, \vec{v_2}\right\}}\) do \(\displaystyle{ \left\{ \vec{v_1}-\vec{v_2}, 2\vec{v_1}+\vec{v_2}\right\}}\) . Szukaną macierz \(\displaystyle{ A'}\) wyznaczamy z znależności \(\displaystyle{ A' = Q^{-1}AP}\) . Zatem:

\(\displaystyle{ A' =\begin{bmatrix} 1&2\\-1&1\end{bmatrix}^{-1} \begin{bmatrix} 1&2&3\\4&5&6\\7&8&9\end{bmatrix}\begin{bmatrix} 2&0&0\\0&0&1\\0&1&1\end{bmatrix}}\)

Dalsza część rozwiązania nie jest już dla mnie ważna - zastanawia mnie przede wszystkim, czy w tym rozwiązaniu macierz \(\displaystyle{ Q}\) jest dobrze zapisana? Bo mi wydawało by się, że powinno być:

\(\displaystyle{ Q = \begin{bmatrix} 1&-1\\2&1\end{bmatrix}}\)

Aczkolwiek cały temat przerabiam od zaledwie kilku dni, więc może po prostu czegoś tutaj nie zauważam?