Granica iloczynu (i sumy)

[drempi]

Z góry chciałbym przeprosić, jeżeli w tym poście popełniłem jakiekolwiek błędy.

Ostatnio zastanawiałem się nad granicą iloczynu:

\(\displaystyle{ \lim_{n\to\infty}\prod_{i=1}^{n}1+\frac{1}{i^{2}}}\)

Po odpowiednim przekształceniu i pewnych obserwacjach doszedłem do wniosku, że wyżej podany iloczyn może być przedstawiony w postaci:

\(\displaystyle{ \lim_{n\to\infty}\sum_{i=0}^{n}\frac{\pi^{2i}}{(2i+1)!}}\)

Mój problem polega na tym, że nie mam zielonego pojęcia, czym ta granica może być, a już tym bardziej czy jest wogóle skończona. Wie ktoś może jaka jest wartość tej granicy?

[Kartezjusz]

Kryterium D'alemberta uspokaja sprawę zbieżności. Co do Wartości \(\displaystyle{ 1+ \frac{1}{i^{2}} =(1+ \frac{j}{i} ) ( 1- \frac{j}{i} )}\)

[Premislav]

drempi, możesz pokazać, jak to przekształcić do takiej postaci? Bo zupełnie tego nie widzę.

Jak dla mnie:


\(\displaystyle{ \lim_{n\to\infty}\sum_{i=0}^{n}\frac{\pi^{2i}}{(2i+1)!}= \lim_{n \to \infty } \frac{1}{\pi} \sum_{i=0}^{n}\frac{\pi^{2i+1}}{(2i+1)!}= \frac{1}{\pi}\sum_{i=0}^{ \infty }\frac{\pi^{2i+1}}{(2i+1)!}= \frac{1}{\pi}\sinh \pi=\\= \frac{e^{\pi}-e^{-\pi}}{2\pi}}\),
bo to, co tam masz, to jest po prostu rozwinięcie sinusa hiperbolicznego w szereg Maclaurina.

[Janusz Tracz]

\(\displaystyle{ \frac{\sin x}{x}= \prod_{k=1}^{ \infty }(1- \frac{x^2}{(k \pi )^2} )}\)

kładąc \(\displaystyle{ x=i \pi}\)

\(\displaystyle{ \frac{\sin i \pi }{i \pi }= \prod_{k=1}^{ \infty }(1+ \frac{1}{k^2} )}\)

\(\displaystyle{ \frac{sh \pi }{ \pi }=\prod_{k=1}^{ \infty }(1+ \frac{1}{k^2} )}\)

[drempi]

Na początku chciałbym podziękować za odpowiedzi .Co do przekształcenia to najpierw trzeba zdefiniować metodę \(\displaystyle{ k(Z, w)}\). \(\displaystyle{ Z}\) oznacza dany zbiór, natomiat \(\displaystyle{ w}\) to dana liczba między zerem, a ilością elementów w zbiorze \(\displaystyle{ Z}\) włącznie. Funkcja \(\displaystyle{ k(Z, w)}\) zwraca sumę wszystkich możliwych iloczynów powstałych z \(\displaystyle{ w}\) elementów zbioru \(\displaystyle{ Z}\) tj. w każdej możliwej kombinacji \(\displaystyle{ w}\) elementów z danego zbioru \(\displaystyle{ Z}\) mnożymy wszystkie wyrazy i całość sumujemy. Znając życie ktoś już wymyślił coś na wzór tej metody, ale że póki co nie wiem jak oficjalnie zapis tej metody wygląda, będę używał własnego.
Początkowe przekształcenia są bardzo proste:

\(\displaystyle{ \lim_{n\to\infty}\prod_{i = 1}^{n} 1 + \frac{1}{i^{2}}}\) = \(\displaystyle{ \lim_{n\to\infty}\prod_{i = 1}^{n} \frac{i^{2} + 1}{i^{2}}}\) = \(\displaystyle{ \lim_{n\to\infty}\frac{1^{2} + 1}{1^{2}} \cdot \frac{2^{2} + 1}{2^{2}} \cdot \frac{3^{2} + 1}{3^{2}} \cdot \frac{4^{2} + 1}{4^{2}} \cdot ... \cdot \frac{n^{2} + 1}{n^{2}}}\) =

\(\displaystyle{ \lim_{n\to\infty}\frac{(1^{2} + 1) \cdot (2^{2} + 1) \cdot (3^{2} + 1) \cdot (4^{2} + 1) \cdot ... \cdot (n^{2} + 1)}{n! \cdot n!}}\)

W tym momencie ustalmy,że zbiorem \(\displaystyle{ Z}\) dla funkcji \(\displaystyle{ k(Z, w)}\) będzie zbiór \(\displaystyle{ \left\{ 1^{2}, 2^{2}, 3^{2}, 4^{2}, 5^{2}...\right\}}\), czyli zbiór kwadratów wszystkich liczb. Łatwo zauważamy że jeżeli wymnożymy ze sobą wszystkie elementy wyrażenia \(\displaystyle{ (1^{2} + 1) \cdot (2^{2} + 1) \cdot (3^{2} + 1) \cdot (4^{2} + 1) \cdot ... \cdot (n^{2} + 1)}\) to otrzymamy m. in. wyrażenie postaci \(\displaystyle{ 1^{2} \cdot 2^{2} \cdot 3^{2} \cdot 4^{2} \cdot ... \cdot n^{2}}\), czyli \(\displaystyle{ n! \cdot n!}\), które z kolei możemy podzielić przez wyrażenie w mianowniku, by otrzymać 1. Jednak po wymnożeniu ze sobą wszystkich elementów wyrażenia \(\displaystyle{ (1^{2} + 1) \cdot (2^{2} + 1) \cdot (3^{2} + 1) \cdot (4^{2} + 1) \cdot ... \cdot (n^{2} + 1)}\) otrzymamy jeszcze \(\displaystyle{ n}\) wyrażeń, które są związane z metodą \(\displaystyle{ k(Z, w)}\), bo mają postać \(\displaystyle{ k(Z, x)}\), gdzie \(\displaystyle{ x}\) przyjmuje wszystkie wartości między 0, a \(\displaystyle{ n}\) - 1. Od razu zaznaczę, że metoda \(\displaystyle{ k(Z, w)}\) dla \(\displaystyle{ w}\) równego 0 niezależnie od zbioru \(\displaystyle{ Z}\) (swoją drogą udało mi się ustalić, że nawet dla zbioru pustego) zwraca wartość równą 1.
Teraz ustalmy ciąg
\(\displaystyle{ a_{k}=\frac{1}{1^{2k}} + \frac{1}{2^{2k}} + \frac{1}{3^{2k}} + \frac{1}{4^{2k}}... = \sum_{i = 1}^{\infty}\frac{1}{i^{2k}} = \zeta(2k) = \frac{(-1)^{k + 1} \pi^{2k} \cdot 2^{2k - 1} \cdot B_{2k}}{(2k)!}}\)
Jednak najważniejsze dla zrozumienia późniejszej części jest to pierwsze przekształcenie we wzorze na \(\displaystyle{ a_{k}}\)
Następną rzeczą jest to, że \(\displaystyle{ k(Z, n - 1)}\) jest równe \(\displaystyle{ k(Z, w) \cdot a_{1}}\), kolejny wyraz \(\displaystyle{ k(Z, n - 2)}\) jest równy \(\displaystyle{ \frac{\k(Z, n - 1) \cdot a_{1} - k(Z, n) \cdot a_{2}} {2}}\), idąc dalej

\(\displaystyle{ k(Z, n - 3) = \frac{\k(Z, n - 2) \cdot a_{1} - k(Z, n - 1) \cdot a_{2} + k(Z, n) \cdot a_{3}} {3}}\)

\(\displaystyle{ k(Z, n - 4) = \frac{\k(Z, n - 3) \cdot a_{1} - k(Z, n - 2) \cdot a_{2} + k(Z, n - 1) \cdot a_{3} - k(Z, n) \cdot a_{4}} {4}}\)

i ogólnie

\(\displaystyle{ k(Z, n - x) = \frac{1}{x} \cdot \sum_{i = 1}^{x} (-1)^{i + 1} \cdot k(Z, n - x + i) \cdot a_{i}}\)

Następna część to podstawienie pod \(\displaystyle{ a_{k}}\) wzoru \(\displaystyle{ \frac{(-1)^{k + 1} \pi^{2k} \cdot 2^{2k - 1} \cdot B_{2k}}{(2k)!}}\), sprowadzenie wszystkich \(\displaystyle{ k(Z, n - x)}\) do postaci wyrażenia nie zawierającego w sobie żadnych liczb postaci \(\displaystyle{ k(Z, n - x)}\) dla \(\displaystyle{ x \neq 0}\), podstawienie pod liczby Bernoulliego ich wartości, podzielenie przez \(\displaystyle{ n! \cdot n!}\) (co skróci się z \(\displaystyle{ k(Z, n)}\) ) i w końcu obliczenie wartości funkcji \(\displaystyle{ k(Z, n - x)}\) dla kolejnych \(\displaystyle{ x}\). Otrzymamy wtedy:

\(\displaystyle{ k(Z, n)= 1}\)

\(\displaystyle{ k(Z, n - 1) = \frac{\pi^2}{6}}\)

\(\displaystyle{ k(Z, n - 2) = \frac{\pi^4}{120}}\)

\(\displaystyle{ k(Z, n - 3) = \frac{\pi^6}{5040}}\)

\(\displaystyle{ k(Z, n - 4) = \frac{\pi^8}{362880}}\)

itd. więc jak możemy zaobserwować:

\(\displaystyle{ k(Z, n - x) = \frac{\pi^{2x}}{(2x + 1)!}}\)

Teraz skoro wyrażenie \(\displaystyle{ (1^{2} + 1) \cdot (2^{2} + 1) \cdot (3^{2} + 1) \cdot (4^{2} + 1) \cdot ... \cdot (n^{2} + 1)}\) można rozbić na łącznie \(\displaystyle{ n}\) + 1 wyrażeń postaci \(\displaystyle{ k(Z, n - x)}\), gdzie \(\displaystyle{ x}\) przyjmuje wartości od 0 do \(\displaystyle{ n}\), to znaczy, że wyrażenie

\(\displaystyle{ \lim_{n\to\infty}\frac{(1^{2} + 1) \cdot (2^{2} + 1) \cdot (3^{2} + 1) \cdot (4^{2} + 1) \cdot ... \cdot (n^{2} + 1)}{n! \cdot n!}}\)

(zaznaczę, że przy wyznaczaniu konkretnych wartości \(\displaystyle{ k(Z, n - x)}\) już dzieliliśmy przez \(\displaystyle{ n! \cdot n!}\)) będzie równe dokładnie:

\(\displaystyle{ \lim_{n\to\infty} \sum_{i = 0}^{n} \frac{\pi^{2i}}{(2i + 1)!}}\)

Co ostatecznie daje nam ten wynik. Uff, trochę zajęło mi pisanie tego wszystkiego, ale mam nadzieję, że jakoś udało mi się to wytłumaczyć . Kończąc tylko - całe to przekształcenie miało być eksperymentem, czy da się w jakiś użyteczny sposób zastosować funkcję \(\displaystyle{ k(Z, w)}\).

[Dasio11]

Do bardzo fajnych wniosków doszedłeś.

(1) W tym momencie ustalmy,że zbiorem \(\displaystyle{ Z}\) dla funkcji \(\displaystyle{ k(Z, w)}\) będzie zbiór \(\displaystyle{ \left\{ 1^{2}, 2^{2}, 3^{2}, 4^{2}, 5^{2}...\right\}}\), czyli zbiór kwadratów wszystkich liczb.
[...]

(2) Łatwo zauważamy że jeżeli wymnożymy ze sobą wszystkie elementy wyrażenia \(\displaystyle{ (1^{2} + 1) \cdot (2^{2} + 1) \cdot (3^{2} + 1) \cdot (4^{2} + 1) \cdot ... \cdot (n^{2} + 1)}\) to otrzymamy m. in. wyrażenie postaci \(\displaystyle{ 1^{2} \cdot 2^{2} \cdot 3^{2} \cdot 4^{2} \cdot ... \cdot n^{2}}\), czyli \(\displaystyle{ n! \cdot n!}\), które z kolei możemy podzielić przez wyrażenie w mianowniku, by otrzymać 1. Jednak po wymnożeniu ze sobą wszystkich elementów wyrażenia \(\displaystyle{ (1^{2} + 1) \cdot (2^{2} + 1) \cdot (3^{2} + 1) \cdot (4^{2} + 1) \cdot ... \cdot (n^{2} + 1)}\) otrzymamy jeszcze \(\displaystyle{ n}\) wyrażeń, które są związane z metodą \(\displaystyle{ k(Z, w)}\), bo mają postać \(\displaystyle{ k(Z, x)}\), gdzie \(\displaystyle{ x}\) przyjmuje wszystkie wartości między 0, a \(\displaystyle{ n}\) - 1.
[...]

(3) Teraz ustalmy ciąg
\(\displaystyle{ a_{k}=\frac{1}{1^{2k}} + \frac{1}{2^{2k}} + \frac{1}{3^{2k}} + \frac{1}{4^{2k}}... = \sum_{i = 1}^{\infty}\frac{1}{i^{2k}} = \zeta(2k) = \frac{(-1)^{k + 1} \pi^{2k} \cdot 2^{2k - 1} \cdot B_{2k}}{(2k)!}}\)
Jednak najważniejsze dla zrozumienia późniejszej części jest to pierwsze przekształcenie we wzorze na \(\displaystyle{ a_{k}}\)
Następną rzeczą jest to, że \(\displaystyle{ k(Z, n - 1)}\) jest równe \(\displaystyle{ k(Z, w) \cdot a_{1}}\), kolejny wyraz \(\displaystyle{ k(Z, n - 2)}\) jest równy \(\displaystyle{ \frac{\k(Z, n - 1) \cdot a_{1} - k(Z, n) \cdot a_{2}} {2}}\), [...]

Tutaj trochę pomieszałeś. Fragmenty (1) i (3) wskazują na to, że \(\displaystyle{ k( Z, w )}\) dotyczy nieskończonego zbioru \(\displaystyle{ Z}\) i wobec tego nieskończonej sumy, ale fragment (2) sugeruje, że \(\displaystyle{ Z = \{ 1^2, 2^2, \ldots, n^2 \}}\) jest skończonym, \(\displaystyle{ n-}\)elementowym zbiorem i również suma \(\displaystyle{ k( Z, w )}\) składa się ze skończenie wielu składników.


Po drugie: myślę, że korzystnie dla czytelności byłoby znormalizować wyrażenia, rozważając iloczyn

\(\displaystyle{ \left( 1 + \frac{1}{1^2} \right) \cdot \left( 1 + \frac{1}{2^2} \right) \cdot \left( 1 + \frac{1}{3^2} \right) \cdot \left( 1 + \frac{1}{4^2} \right) \cdot \ldots}\)

i zbiór

\(\displaystyle{ Z = \left\{ \frac{1}{1^2}, \frac{1}{2^2}, \frac{1}{3^2}, \frac{1}{4^2}, \frac{1}{5^2}, \ldots \right\}.}\)

Wtedy sytuacja wyglądałaby tak:

\(\displaystyle{ k( Z, 0 ) = 1, \\[2ex]
k( Z, 1 ) = \frac{1}{1^2} + \frac{1}{2^2} + \frac{1}{3^2} + \ldots = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2} \\[2ex]
{k( Z, 2 ) = \frac{1}{1^2 \cdot 2^2} + \frac{1}{1^2 \cdot 3^2} + \frac{1}{2^2 \cdot 3^2} + \frac{1}{1^2 \cdot 4^2} + \frac{1}{2^2 \cdot 4^2} + \frac{1}{3^2 \cdot 4^2} + \frac{1}{1^2 \cdot 5^2} + \ldots = \sum_{1 \le i < j} \frac{1}{i^2 \cdot j^2},} \\[2ex]
k( Z, 3 ) = \sum_{1 \le i < j < k} \frac{1}{i^2 \cdot j^2 \cdot k^2} \\[2ex]
\vdots}\)

i przy twoim oznaczeniu

\(\displaystyle{ a_k = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{2k}}}\)

wzory pozostają analogiczne do tych, które napisałeś:

\(\displaystyle{ k( Z, 1 ) = a_1 \cdot k( Z, 0 ) \\[1ex]
k( Z, 2 ) = \frac{a_1 \cdot k( Z, 1 ) - a_2 \cdot k( Z, 0 )}{2} \\[1ex]
k( Z, 3 ) = \frac{a_1 \cdot k( Z, 2 ) - a_2 \cdot k( Z, 1 ) + a_3 \cdot k( Z, 0 )}{3} \\[1ex]
k( Z, 4 ) = \frac{a_1 \cdot k( Z, 3 ) - a_2 \cdot k( Z, 2 ) + a_3 \cdot k( Z, 1 ) - a_4 \cdot k( Z, 0 )}{4} \\[1ex]
\vdots \\[1ex]
k( Z, n ) = \frac{1}{n} \sum_{k=1}^{n} (-1)^{k+1} \cdot a_k \cdot k( Z, n-k ).}\)

[drempi]

Serdecznie dziękuję za te uwagi.
Jednak pozostaje jedno pytanie - czy ktoś już kiedyś stworzył coś na wzór metody \(\displaystyle{ k(Z, w)}\)? Co prawda odbijam od tematu, ale mocno mnie to ciekawi.