Matematyka.pl

Przechodząc do układu współrzędnych biegunowych oblicz:
\(\displaystyle{ \int_{0}^{1}\int_{0}^{1} e ^{-\left( x ^{2} +y ^{2} \right) } \mbox{d}x \mbox{d}y}\)

Zgodnie z poleceniem przechodzę na współrzędne biegunowe:
\(\displaystyle{ x=r \cdot \cos \phi \\
y=r \cdot \sin \phi}\)

Podstawiam za x i y oraz dodaje jakobian:
\(\displaystyle{ \int_{?}^{?}\int_{?}^{?} e ^{-\left( r ^{2} \cos ^{2}\phi +r ^{2} \sin ^{2}\phi \right) }r \mbox{d}r \mbox{d}\phi}\)

Wyciągam r przed nawias i pozbywam się cos i sin z użyciem jedynki trygonometrycznej:
\(\displaystyle{ \int_{?}^{?}\int_{?}^{?} e ^{-r ^{2} }r \mbox{d}r \mbox{d}\phi}\)

I tutaj stoję w miejscu. Jeżeli spróbuje podstawić wartości graniczne to wyrazy się zredukują i wyjdzie 0. Dodatkowo nie wiem jakie mam podstawić granice po przejściu na układ biegunowy.

Poradziłem się Wolframa Alpha oraz koleżanki. Wolfram podał mi erf, którego nigdy nie przerabiałem, a koleżanka napisała tak:
\(\displaystyle{ \int_{0}^{1}\int_{0}^{1} e ^{-\left( x ^{2} +y ^{2} \right) } \mbox{d}x \mbox{d}y=\int_{0}^{1}\int_{0}^{ \frac{\pi}{2} } e ^{-\left( r ^{2} \cos ^{2}\phi +r ^{2} \sin ^{2}\phi \right) }r \mbox{d}r \mbox{d}\phi=\int_{0}^{1}\int_{0}^{ \frac{\pi}{2} } e ^{-r ^{2}\left(\cos ^{2}\phi + \sin ^{2}\phi \right) }r \mbox{d}r \mbox{d}\phi= \frac{\pi}{2} \int_{0}^{1}e ^{-r ^{2} }r \mbox{d}ri}\)

Następnie podstawiła:
\(\displaystyle{ t=-r ^{2}}\)
\(\displaystyle{ \mbox{d}t =-2r \mbox{d}r \rightarrow - \frac{1}{2} \mbox{d}t=r \mbox{d}r}\)

I wyszło:
\(\displaystyle{ - \frac{\pi}{4} \int_{-1}^{0}e ^{t} \mbox{d}t}\)

Potem była już łatwa do obliczenia całka oznaczona, tyle że nie rozumiem jej kroków, a że koleżanka przestała być dostępna chwilę po podaniu mi jej rozwiązania to chciałbym spytać Was. Więc:
1. Przy podstawieniu \(\displaystyle{ x}\) i \(\displaystyle{ y}\), skąd wzięło się \(\displaystyle{ \frac{\pi}{2}}\) przy górnej granicy drugiej całki?;
2. Dlaczego rozwiązując drugą całkę wyrazy się nie zredukowały?;
3. Po podstawieniu \(\displaystyle{ t}\), dlaczego granice całki zmieniły się z \(\displaystyle{ 0,1}\) na \(\displaystyle{ -1,0}\)?.

Znając siebie to rozwiązanie na mój problem jest banalnie proste. W każdym razie proszę Was o wszelką pomoc.

Moim zdaniem rozwiązanie Twojej koleżanki jest błędne, bo wyjściowa całka jest po prostokącie, a potem masz prostokąt w biegunowych, który w początkowych współrzędnych odpowiada wycinkowi koła. Nie widzę, jak uzyskać rozwiązanie bez funkcji błędu (czyli \(\displaystyle{ \textbf{erf}(x)}\)), a już zupełnie nie widzę zastosowania współrzędnych biegunowych. Jesteś pewien, że granice całkowania są napisane poprawnie?

Takie było podane zadanie na egzaminie. Nie kojarzę bym kiedykolwiek używał błędu funkcji, a samo zadanie każe przejść na współrzędne biegunowe.
[ciach]

Może tak:

\(\displaystyle{ \int_{0}^{1}\int_{0}^{1} e ^{-\left( x ^{2} +y ^{2} \right) } \mbox{d}x \mbox{d}y}\)

\(\displaystyle{ ....=\int_{0}^{ \frac{\pi}{4} } \left( \int_{0}^{ \frac{1}{\cos \alpha } }e ^{-r^2}r\dd r \right) \dd \alpha +\int_{ \frac{\pi}{4} }^{ \frac{\pi}{2} } \left( \int_{0}^{ \frac{1}{\sin \alpha } }e ^{-r^2}r\dd r \right) \dd \alpha}\)

kerajs, Nie rozumiem Twojego rozwiązania.
W sensie, skąd wzięły się te granice, czemu są dwie całki podwójne i jak to potem policzyć (ten ułamek z cosinusem mnie myli i pewnie pomylę się zapisując granice).
Mógłbyś pokazać swój tok myślenia?

Kwadrat będący obszarem całkowania przy przejściu na współrzędne biegunowe nie jest obszarem normalnym. Dzielę go na dwa trójkąty prostą \(\displaystyle{ y=x}\) dostając dwa obszary normalne, więc i dwie
całki. W trójkącie o wierzchołkach \(\displaystyle{ (0,0), (1,0),(1,1)}\) promień wodzący obraca się w I ćw. od prostej \(\displaystyle{ y=0}\) do \(\displaystyle{ y=x}\) dając ograniczenie dla kąta: \(\displaystyle{ 0 \le \alpha \le \frac{\pi}{4}}\). Długość promienia wodzącego ogranicza prosta \(\displaystyle{ x=1}\). Stąd \(\displaystyle{ r\cos \alpha =1 \Rightarrow r= \frac{1}{\cos \alpha }}\). Dlatego w tym trójkącie (i w pierwszej całce) promień zmienia się w granicach: \(\displaystyle{ 0 \le r \le \frac{1}{\cos \alpha}}\). W drugim trójkącie (będącym obszarem całkowania drugiej całki) granice znajdź samodzielnie.

Edit:
W swoim poprzednim poscie chciałem jedynie pokazać Ci jak przejść do prawidłowych granic całkowania dla współrzędnych biegunowych. Przyznaję, wtedy w ogóle nie zastanawiałem się nad rozwiązywalnością uzyskanej całki. O ile całkowanie po promieniu jest proste, to późniejsza całka po kącie jest nieelementarna. Nie wiem czy, oraz jak rozwiązywaliście takie całki.

Premislav ma rację, wynik całkowania to

\(\displaystyle{ \left(\int_0^1 \exp (-t^2) \,\textrmdt\right)^2}\)

i nie sposób tego uprościć. Może chodziło jednak o całkę Gaussa?

\(\displaystyle{ \int_{\mathbb R^2} \exp (-x^2-y^2) \, d\lambda^2 = \int_0^{2\pi} \int_0^\infty r \exp(-r^2) \,\textrm dr \,\textrm d\theta = \pi}\).

Żeby uzyskać ten rezultat wystarczy podstawić \(\displaystyle{ u = r^2}\).