Całka Lebesgue'a z definicji

[Kaktusiewicz]

Witam!
Jak obliczyć z definicji całkę Lebesgue'a \(\displaystyle{ \int\limits_{[0,1]}x^2dx}\)?

[Sir George]

Przybliżamy \(\displaystyle{ x^2}\) funkcjami prostymi:
\(\displaystyle{ \sum_{k=1}^{n}\, \left(\frac{k-1}{n}\right)^2\cdot\chi_{\left[\frac{k-1}{n},\frac{k}{n}\right)}\ }\)
Całki Lebesgue'a funkcji po obu stronach nierówności łatwo policzyć, skąd dostajemy:
\(\displaystyle{ \frac16\cdot\left(1-\frac1n\right)\cdot\left(2-\frac1n\right)\ }\)
Przechodząc z \(\displaystyle{ n\to+\infty}\) dostaniemy szukane rozwiązanie...

...i chwacit...