Całka Lebesgue'a z definicji

Całkowalność. Metody i obliczanie całek oznaczonych i nieoznaczonych. Pole pod wykresem. Równania i nierówności z wykorzystaniem rachunku całkowego. Wielowymiarowa całka Riemanna - w tym pola i objętości figur przestrzennych.
Kaktusiewicz
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 60
Rejestracja: 21 kwie 2007, o 19:15
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Chełm Śląski
Podziękował: 16 razy

Całka Lebesgue'a z definicji

Post autor: Kaktusiewicz » 6 wrz 2007, o 21:10

Witam!
Jak obliczyć z definicji całkę Lebesgue'a \(\displaystyle{ \int\limits_{[0,1]}x^2dx}\)?
Rekrutacja Instytut Matematyczny, Uniwersytet Wrocławski (gif)

Awatar użytkownika
Sir George
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1145
Rejestracja: 27 kwie 2006, o 10:19
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: z Konopii
Podziękował: 4 razy
Pomógł: 203 razy

Całka Lebesgue'a z definicji

Post autor: Sir George » 12 wrz 2007, o 11:57

Przybliżamy \(\displaystyle{ x^2}\) funkcjami prostymi:
\(\displaystyle{ \sum_{k=1}^{n}\, \left(\frac{k-1}{n}\right)^2\cdot\chi_{\left[\frac{k-1}{n},\frac{k}{n}\right)}\ }\)
Całki Lebesgue'a funkcji po obu stronach nierówności łatwo policzyć, skąd dostajemy:
\(\displaystyle{ \frac16\cdot\left(1-\frac1n\right)\cdot\left(2-\frac1n\right)\ }\)
Przechodząc z \(\displaystyle{ n\to+\infty}\) dostaniemy szukane rozwiązanie...

...i chwacit... :mrgreen:

ODPOWIEDZ