Matematyka.pl

Wykaż, że dla każdej funkcji \(\displaystyle{ f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}}\) która ma nieskonczenie wiele pochodnych, jeżeli:
\(\displaystyle{ \forall _{n \geqslant 2015} \forall _{x \in \mathbb{R}} \left | f^{(n)}(x) \right | \leq 7}\)
to ciąg funkcyjny \(\displaystyle{ \left \{ T _ {n, f, 0} \right \} _{n \geq 0}}\) jest punktowo zbieżny do \(\displaystyle{ f}\). (ten ciąg to kolejne wielomiany Taylora dla tej funkcji, o środku w punkcie \(\displaystyle{ x_0 = 0}\)).

Czy powyżej musi zachodzić zbieżność jednostajna? Podaj przykład funkcji spełniającej powyższe założenia, dla której ten ciąg funkcyjny \(\displaystyle{ \left \{ T _ {n, f, 0} \right \} _{n \geq 0}}\) nie jest jednostajnie zbieżny.

Mam takie zadanie i pojęcia nie mam jak go rozwiązać. Znam teorię dt. wielomianu Taylora jak i zbieżności ciągów funkcyjnych, ale jak to w ogóle zacząć? Pojęcia nie mam co daje ten warunek. Normalnie zbieżność punktową ciągu funkcyjnego badałbym po prostu licząc zwykła granicę dla każdego elementu dziedziny, ale tutaj...?

Proszę o podpowiedzi jak się za to zabrać.

Z definicji zbieżności musi zachodzić warunek
'
\(\displaystyle{ \lim_{n\to\infty}|f(x)-T_{n,f,0}(x)|=0}\)

Po skorzystaniu ze wzoru Taylora wyrażenie \(\displaystyle{ |f(x)-T_{n,f,0}(x)|}\) redukuje się do reszty. Zapisz resztę w postaci Lagrange'a i szacuj.