Matematyka.pl

Hej,
Mam problem z nastepujacym zadaniem. Wyznacz prawdopodobienstwo że przy losowym uporzadkowaniu talii 52 kart żadne 2 asy nie sąsiadują ze sobą.
\(\displaystyle{ \left|\Omega\right|=52!}\)Pomysl jest taki:\(\displaystyle{ \left| A\right|=4!\cdot {48\choose 3}\cdot 3! \cdot 45!}\) Pierwsze kolejność asów, wybieramy 3 karty na przegródki, permutujemy je. Reszta kart popermutowana dowolnie. Rozwiazanie jest prawidłowe? Jesli nie bylbym bardzo wdzieczny za przystępne wytłumaczenie tego.

A skąd wiesz że przegródki nie są obok siebie?

Ja robiłbym tak:
Nie asy można ustawić na \(\displaystyle{ 48!}\) sposobów
Pierwszego asa mogę włożyć w jedno z \(\displaystyle{ 49}\) dostępnych miejsc.
Drugiego asa mogę włożyć w jedno z \(\displaystyle{ 50}\) dostępnych miejsc, ale dwa są obok pierwszego asa, czyli pozostaje mi \(\displaystyle{ 48}\) dostępnych miejsc.
Trzeciego asa mogę włożyć w jedno z \(\displaystyle{ 51-4=47}\) dostępnych miejsc,
a ostatniego na jedno z \(\displaystyle{ 52-6=46}\) dostępnych miejsc.
Konkludując:
\(\displaystyle{ P(A)=\frac {48! \cdot 49 \cdot 48 \cdot 47 \cdot 46}{52!}}\) .

Może łatwiej przez zdarzenie przeciwne?
\(\displaystyle{ A}\) - żadne dwa asy ze sobą nie sąsiadują
\(\displaystyle{ A'}\) - istnieje jedna para asów, które sąsiadują ze sobą.

Na \(\displaystyle{ 4 \cdot 3}\) sposobów możemy wybrać jedną parę asów, które będą obok siebie - kolejność ma znaczenie, który na którym leży.
Na \(\displaystyle{ 51}\) sposoby możemy wybrać miejsce położenia wybranej pary asów (tzn. pierwszy as z naszej pary może być pierwszy z góry, drugi,... i ew. pięćdziesiąty pierwszy)
Na \(\displaystyle{ 50!}\) możemy umieścić pozostałe karty.
\(\displaystyle{ |A'|=4 \cdot 3 \cdot 51 \cdot 50!\\
P(A')=\frac{4 \cdot 3 \cdot 51 \cdot 50!}{52!}=\frac{3}{13} \\
P(A)=\frac{10}{13}}\)

Wyniki inne, może mam błąd w rozumowaniu?

squared, będą się niektóre przypadki pokrywać.
Możliwości, że na wierzchu są dwa asy jest \(\displaystyle{ 4 \cdot 3 \cdot 50!}\),
możliwości, że na spodzie są dwa asy jest też \(\displaystyle{ 4 \cdot 3 \cdot 50!}\)

ale możliwości żeby dwa asy były na górze lub na dole nie jest \(\displaystyle{ 4 \cdot 3 \cdot 50!+4 \cdot 3 \cdot 50!}\)

kerajs pisze:A skąd wiesz że przegródki nie są obok siebie?

Ja robiłbym tak:
Nie asy można ustawić na \(\displaystyle{ 48!}\) sposobów
Pierwszego asa mogę włożyć w jedno z \(\displaystyle{ 49}\) dostępnych miejsc.
Drugiego asa mogę włożyć w jedno z \(\displaystyle{ 50}\) dostępnych miejsc, ale dwa są obok pierwszego asa, czyli pozostaje mi \(\displaystyle{ 48}\) dostępnych miejsc.
Trzeciego asa mogę włożyć w jedno z \(\displaystyle{ 51-4=47}\) dostępnych miejsc,
a ostatniego na jedno z \(\displaystyle{ 52-6=46}\) dostępnych miejsc.
Konkludując:
\(\displaystyle{ P(A)=\frac {48! \cdot 49 \cdot 48 \cdot 47 \cdot 46}{52!}}\) .

Fakt nie wiem czy są obok siebie.
Hhm a czemu pierwszego asa w jedno z \(\displaystyle{ 49}\) miejsc? Przy pierwszym nie mamy dowolności i tylko by kolejne dopasować?

Wyciągamy z talii wszystkie asy i tasujemy \(\displaystyle{ 48}\) kart na \(\displaystyle{ 48!}\) sposobów. Między \(\displaystyle{ 48}\) kartami jest \(\displaystyle{ 47}\) miejsc i trzeba dodać miejsce przed pierwszą kartą i miejsce za ostatnią kartą, stąd \(\displaystyle{ 47+2=49}\) miejsc. Teraz wkładamy asy na \(\displaystyle{ {49 \choose 4} \cdot 4!}\) sposobów. Czyli wszystkich możliwości, żeby asy nie sąsiadowały ze sobą jest
\(\displaystyle{ 48! \cdot {49 \choose 4} \cdot 4!=48! \cdot 49 \cdot 48 \cdot 47 \cdot 46}\)