Strona 1 z 1
Całka oznaczona
: 25 sie 2016, o 20:04
autor: stuart clark
\(\displaystyle{ \displaystyle \int^{1}_{0}\frac{\ln^2(1-x)}{x}dx}\)
Całka oznaczona
: 25 sie 2016, o 20:40
autor: dec1
Przez części
Całka oznaczona
: 25 sie 2016, o 20:41
autor: luka52
Ukryta treść:
Podstawiając
\(\displaystyle{ t = 1 - x}\) mamy:
\(\displaystyle{ I = \int_1^0 \frac{\ln^2 t}{1 - t} \, (- \dd t) = \int_0^1 \frac{\ln^2 t}{1 - t} \, \dd t = \int_0^1 \sum_{n = 0}^{+\infty} x^n \ln^2 x \, \dd x}\)
Policzmy:
\(\displaystyle{ $\begin{align*}\int_0^1 x^n \ln^2 x \,\dd x &= \frac{\ln^2 x}{(n+1)} x^{n+1} \Big|_0^1 - \frac{2}{n+1}\int_0^1 x^n \ln x \, \dd x = \frac{2}{(n+1)^2} \int_0^1 x^n \, \dd x \\ &= \frac{2}{(n+1)^3}\end{align*}$}\)
Stąd:
\(\displaystyle{ I = \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{2}{(n+1)^3} = 2 \zeta(3) \;.}\)
Całka oznaczona
: 26 sie 2016, o 09:36
autor: stuart clark
Thanks Dec1, Luka52