Matematyka.pl

Cześć,
czy łańcuch Markowa może mieć więcej niż jedną klasę powracającą i żadnych klas chwilowych ?

Jakie to są definicje:
Dla łańcucha tworzymy graf silnie spójnych składowych. Teraz każda spójna to jakaś klasa, albo powracająca (każdy węzeł jest powracający) albo chwilowa (każdy węzeł=stan jest chwilowy).

No to odpowiedź jest nie. Chodzi o to, że narysujmy sobie jeden wierzchołek. Mamy już jedną klasę powracającą. Narysujmy drugi. Mamy dwie klasy powracające (tak się ze sobą umawiamy). Jeśli dorysujemy pomiędzy nimi krawędź (można tylko w jedną stronę - to ma być DAG!) to już, ta z której krawędź wychodzi jest chwilowa....
Dlaczego jest chwilowa ? Bo jak puścimy mrówki do tej klasy to niektóre z mrówek wyskoczą do sąsiedniej klasy i już nigdy nie wrócą.


Czy się mylę ?

Z tych definicji nie widzę konieczności istnienia stanów przejściowych.
Weźmy np. łańcuch z dwoma stanami i macierzą przejścia \(\displaystyle{ \begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}}\). Wówczas oba stany są powracające i należą do różnych klas. Stany, więc również klasy, chwilowe musiałyby istnieć, gdybyśmy dodatkowo zażądali słabej spójności grafu klas, to znaczy spójności grafu po usunięciu kierunków krawędzi. Wówczas twoje rozumowanie byłoby ok: Mamy dwa stany powracające \(\displaystyle{ A,A'}\), istnieje droga je łącząca \(\displaystyle{ A=A_0,\ldots,A_n=A'}\), \(\displaystyle{ n\ge 1}\), wówczas \(\displaystyle{ p(A_{n-1},A_n)>0}\), skąd \(\displaystyle{ A_{n-1}}\) jest stanem chwilowym.

W takim razie masz oczywiście rację, ja zakładalem, że musi być słaba spójność. Ale nie powinienem był tego zakładac.