(4 zadania) Równania i nierówności logarytmiczne

[Rav_DuCe]

I)

\(\displaystyle{ \log(2^{x}-4^{x}) - \log8=\log(2^{x-1}-4^{-1})}\)

II)

\(\displaystyle{ \log(x+6) - \frac{1}{2}\log(2x-3)=2-\log25}\)

III)

\(\displaystyle{ \left| \log_{\frac{2}{3}}(2-\frac{3}{x+2})\right| <1}\)

IV)

\(\displaystyle{ \log_{(2x-3)}(3x^2-7x+3)<2}\)

[olazola]

I) Trzeba zacząć od założeń:

\(\displaystyle{ \begin{cases}2^x-4^x>0\\2^{x-1}-4^-{1}>0\end{cases}}\)

Najlepiej to rozwiązać, przez podstawienie \(\displaystyle{ 2^x=t,\;4^x=(2^x)^2=t^2}\)

Następnie stosujemy wzór na różnicę logarytmów o tych samych podstawach:

\(\displaystyle{ \log x - \log y = \log \frac{x}{y}}\)

\(\displaystyle{ \log \frac{2^x-4^x}{8}=\log \(2^{x-1}-4^{-1}\)}\)

II) Na początek oczywiście założenia.

Następnie \(\displaystyle{ \frac{1}{2} \log 2 x-3=\log \(2x-3\)^{0,5}=\log \sqrt{2x-3}}\) oraz \(\displaystyle{ 2= \log 1 00}\)

Dalej tak jak powyżej.

III) Założenia, następnie korzystamy z faktu, że \(\displaystyle{ |x|-1}\)

I jeszcze jedna uwaga, postawa logarytmu jest liczba z przedzialu (0;1), czyli przy opuszczaniu logarytmów należy zmienić znak nierówności.

IV) Należy rozpatrywać to w dwóch przypadkach:

1) \(\displaystyle{ 2x-3>1}\) - znak nierówności przy opuszczaniu logarytmów sie nie zmieni
2) \(\displaystyle{ 0<2x-3<1}\) - znak nierówności przy opuszczaniu log zmienia sie.