Matematyka.pl

Dla jakich liczb pierwszych \(\displaystyle{ p}\) funkcja \(\displaystyle{ \phi : \ZZ_{p} \ni a \rightarrow a^{3} \in \ZZ _{p}}\) jest bijekcją.
(Chodzi mi o rozwiązanie wykorzystujące symbol legendre'a i nie wykorzystujący pojęć teorio grupowych) Poproszę o jakieś wskazówki .

Dla żadnej - nie istnieje taki element \(\displaystyle{ a}\), którego obrazem byłby \(\displaystyle{ p}\). Mielibyśmy wtedy bowiem \(\displaystyle{ 1 = v_p(p) = v_p(a^3) = 3v_p(a)}\), a jak powszechnie wiadomo, waluacja przyjmuje jedynie całkowite wartości.

Ale w zadaniu chodzi o coś innego. Chyba nie zrozumiałeś, obrazem a ma być \(\displaystyle{ a^3}\) a nie \(\displaystyle{ p}\). Może ja treść zadania napisałem niezrozumiale Już ją poprawiłem

Napisałeś jak najbardziej zrozumiale Pytasz się, czy funkcja \(\displaystyle{ f \colon \mathbb Z_p \to \mathbb Z_p}\) zadana wzorem \(\displaystyle{ f(x) = x^3}\) jest bijekcją. Ja w swoim poprzednim poście pokazałem, że nie, gdyż nie jest surjekcją - nie przyjmuje wartości \(\displaystyle{ p}\), która z całą pewnością leży w przeciwdziedzinie.

Chyba że chodziło Ci o ciało \(\displaystyle{ p}\)-elementowe, \(\displaystyle{ \mathbb F_p}\). Ale wtedy i tak nie umiem użyć symboli Legendre'a, które powstały, by móc rozwiązywać równania kwadratowe.