Matematyka.pl

Hej,
mam problem z następującym zadankiem:
Zmienna \(\displaystyle{ X}\)ma rozkład jednostajny na odcinku \(\displaystyle{ (0,1)}\). \(\displaystyle{ Y=-\ln X}\), znajdź rozkład Y.
Korzystając z tw o gęstości przy odwzorowaniach gładkich łatwo to zrobić. Widziałem jednak rozwiązanie którego do końca nie rozumiem.
Chcemy korzystac z def dystrybuanty więc: \(\displaystyle{ F_{y}(t)=P(Y<t)=P(-\ln X<t)=P(X>e^{-t})}\) do tego momentu zabawa na znaczkach jasne. I z tego otrzymujemy następującą dystrybuantę \(\displaystyle{ 0}\) dla \(\displaystyle{ t<0}\) oraz \(\displaystyle{ 1-e^{-t}}\) dla \(\displaystyle{ t\ge 0}\) i tego ostatniego przejścia nie rozumiem. Będę megawdzięczny za dokładne rozpisanie i łopatologiczne wyłożenie, bo nie mogę na to wpaść.

Popatrz, jakie to proste:
napisałeś, że przejścia do momentu \(\displaystyle{ F_Y(t)=\mathbf{P}(X>e^{-t})}\)
są dla Ciebie jasne. OK, to popatrzmy, jakie w ogóle wartości przyjmuje zmienna losowa \(\displaystyle{ X}\):
ma ona rozkład jednostajny na \(\displaystyle{ (0,1)}\) - więc z prawdopodobieństwem \(\displaystyle{ 1}\) przyjmuje wartości tylko z tego zakresu. A jak się zachowuje \(\displaystyle{ e^{-t}}\)? Dość prosto wywnioskować, że \(\displaystyle{ e^{-t}>1}\) dla \(\displaystyle{ t<0}\) oraz \(\displaystyle{ e^{-t} \in (0,1)}\), gdy \(\displaystyle{ t>0}\).
Zatem gdy \(\displaystyle{ t<0}\), to prawdopodobieństwo, że \(\displaystyle{ X}\) przyjmie wartości większe niż \(\displaystyle{ e^{-t}}\) jest równe zero.
No a dla \(\displaystyle{ t\ge 0}\) mamy \(\displaystyle{ \mathbf{P}(X>e^{-t})=1-\mathbf{P}(X \le e^{-t})}\)
(znane: \(\displaystyle{ \mathbf{P}(A')=1-\mathbf{P}(A)}\)).
Oczywiście dystrybuanta rozkładu jednostajnego na \(\displaystyle{ (0,1)}\) to
\(\displaystyle{ F(x)= \begin{cases} 0 \text{ gdy } x<0 \\ x \text{ gdy }x\in(0,1)\\ 1 \text{ gdy } x\ge 1 \end{cases}}\),
więc ponieważ \(\displaystyle{ X}\) ma tenże rozkład i \(\displaystyle{ e^{-t} \in (0,1)}\) dla \(\displaystyle{ t>0}\), to dla \(\displaystyle{ t \ge 0}\) mamy
\(\displaystyle{ \mathbf{P}(X \le e^{-t})=e^{-t}}\),
czyli \(\displaystyle{ F_y(t)= \begin{cases} 0 \text{ dla } t <0 \\1-e^{-t} \text{ dla } t\ge 0 \end{cases}}\)

Faktycznie banał, dzięki wielkie

Premislav pisze:Oczywiście dystrybuanta rozkładu jednostajnego na \(\displaystyle{ (0,1)}\) to
\(\displaystyle{ F(x)= \begin{cases} 0 \text{ gdy } x<0 \\ x \text{ gdy }x\in(0,1)\\ 1 \text{ gdy } x\ge 1 \end{cases}}\)

A co dla \(\displaystyle{ x=0}\) ?