równania różniczkowe do rozwiązania

Różniczkowalność, pochodna funkcji. Przebieg zmienności. Zadania optymalizacyjne. Równania i nierówności z wykorzystaniem rachunku różniczkowego.
elcia_ch
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 45
Rejestracja: 6 wrz 2007, o 15:56
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: inąd
Podziękował: 9 razy

równania różniczkowe do rozwiązania

Post autor: elcia_ch » 6 wrz 2007, o 16:13

Mam prośbę o rozwiązanie paru prostych równań różniczkowych, które mimo wszystko są dla mnie za skomplikowane...
\(\displaystyle{ \frac{dy}{dx}=\arctan x}\)
\(\displaystyle{ x\cdot\frac{dy}{dx}-y=0}\)
\(\displaystyle{ \frac{dy}{dx}=\frac{x\cdot y}{x^{2}- 1}}\)

z góry dzięki
Rekrutacja Instytut Matematyczny, Uniwersytet Wrocławski (gif)

Awatar użytkownika
Anathemed
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 101
Rejestracja: 12 lip 2007, o 21:09
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Pomógł: 34 razy

równania różniczkowe do rozwiązania

Post autor: Anathemed » 6 wrz 2007, o 16:32

Ad2) Jest to równanie o zmiennych rozdzielonych.
Rozdzielamy zmienne, przedstawiając je w takiej postaci:
\(\displaystyle{ \frac{dy}{y} = \frac{dx}{x}}\)
Następnie obustronnie całkujemy, otrzymując:
\(\displaystyle{ lny = lnx + c}\)
Stąd dostajemy: \(\displaystyle{ y = cx}\)

Ad3) Trochę trudniejsze, ale robi się analogicznie jak Ad2)

Ad1) Również podobnie.

elcia_ch
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 45
Rejestracja: 6 wrz 2007, o 15:56
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: inąd
Podziękował: 9 razy

równania różniczkowe do rozwiązania

Post autor: elcia_ch » 6 wrz 2007, o 16:45

dzięki, ale z moim małym mózgiem muszę mieć dokładne rozwiązanka

6x
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 12
Rejestracja: 18 cze 2007, o 17:29
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Szczecinek ;)

równania różniczkowe do rozwiązania

Post autor: 6x » 6 wrz 2007, o 17:34

1)
Wystarczy scalkowac:
\(\displaystyle{ y}\) = \(\displaystyle{ \int}\)\(\displaystyle{ arctgxdx}\) = \(\displaystyle{ xarctgx \ -}\)\(\displaystyle{ \int x}\)\(\displaystyle{ \frac{1}{1+x^{2}}}\)\(\displaystyle{ dx}\) = \(\displaystyle{ xarctgx \ -}\)\(\displaystyle{ \frac{1}{2}}\) \(\displaystyle{ \cdot}\)\(\displaystyle{ ln|1+x^2|}\)\(\displaystyle{ + \ C}\)

(przez części + podstawianie)

3)
\(\displaystyle{ \frac{dy}{dx}}\) = \(\displaystyle{ \frac{xy}{x^2 - 1}}\)

z tego:

\(\displaystyle{ \frac{dy}{y}}\) = \(\displaystyle{ \frac{x}{x^2-1}}\)\(\displaystyle{ dx}\)

całkujemy obie strony:
\(\displaystyle{ \int}\)\(\displaystyle{ \frac{dy}{y}}\) = \(\displaystyle{ ln|y|}\)

\(\displaystyle{ \int}\)\(\displaystyle{ \frac{x}{x^2 - 1}}\)\(\displaystyle{ dx}\) = \(\displaystyle{ \frac{1}{2}}\)\(\displaystyle{ ln|x^2 - 1| + c}\)

i porównujemy

ODPOWIEDZ