Matematyka.pl

Próbujemy wycisnąć jak najwięcej dowodów, że:

\(\displaystyle{ 1 + \frac{1}{2^2} + \frac{1}{3^2} + \frac{1}{4^2} + ... = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2} = \frac{\pi^2}{6}.}\)

Ja widziałem przynajmniej z pięć, ale ciekaw jestem gdzie zaproponujecie kompromis pomiędzy dowodem elementarnym, a dowodem szybkim.

Dowód z wikipedii jest jednym z najszybszych jakie widziałem, ale korzysta z nieoczywistego faktu, że skoro \(\displaystyle{ \frac{\sin x}{x}}\) ma pierwiastki w punktach \(\displaystyle{ \pm k\pi}\) dla \(\displaystyle{ k}\) niezerowego, to można zapisać:

\(\displaystyle{ \frac{\sin x}{x} = \left(1 - \frac{x}{\pi} \right) \cdot \left( 1 + \frac{x}{\pi} \right) \cdot \left(1 - \frac{x}{2\pi} \right)\cdot \left( 1 + \frac{x}{2\pi} \right)\cdot \cdots}\),

a następnie spojrzeć na współczynnik przy \(\displaystyle{ x^2}\).

Inny, jeszcze szybszy polega na rozwinięciu funkcji \(\displaystyle{ f(x) = |x|}\) w szereg Fouriera i podstawieniu \(\displaystyle{ x = 0}\), co ogranicza się do wyliczenia dwóch prostych całek, ale tracimy elementarność (w końcu potrzeba jest wiedza chociażby tego, że szereg Fouriera zbiega) na rzecz szybkości.

Z kolei najbardziej elementarny sposób polega na bawieniu się wzorami na \(\displaystyle{ \sin(nx)}\) oraz \(\displaystyle{ \cos(nx)}\) i innymi tożsamościami trygonometrycznymi, by zastosować na końcu twierdzenie o trzech ciągach, czyli w zasadzie nie wychodzimy poza zakres liceum. Niestety dowód jest długi, do poczytania np. tutaj: ... szereg.pdf.

Macie jakieś inne propozycje?

Próbujemy wycisnąć jak najwięcej dowodów

1
Euler , 1735 r.
2
np. W Dowodach z ksiegi jest dowód (używa rozwinięcia cotangensa w szereg)
\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{2k}} = \frac{(-1)^{k-1} 2^{2k-1}B_{2k}}{(2k)!} \pi^{2k}}\)

3
teoria Funkcja ζ (dzeta) Riemanna

inne
Interpretacja probabilistyczna (Problem Czebyszewa)
Prawdopodobieństwo, że losowo wybrane liczby naturalne są względnie pierwsze jest równe \(\displaystyle{ \frac{6}{\pi^2} = \frac{1}{\zeta(2)}}\)

Dość elementarny jest ten, który zaczyna się od

\(\displaystyle{ \frac 1 {n^2} = \int_0^1\int_0^1 (xy)^{n-1} dx dy}\),

przywołuje twierdzenie o zbieżności monotonicznej i zmusza do wyznaczenia

\(\displaystyle{ \sum_{n = 1}^\infty \frac {1}{n^2} = \int_0^1\int_0^1 \frac{dxdy}{1 - xy}}\).

Znalazłem fajnego pdf'a, w którym jest sporo dowodów. Mi spodobał się szczególnie dowód ósmy, który korzysta z metod analizy zespolonej.

Santiago A pisze:Dość elementarny jest ten, który zaczyna się od

\(\displaystyle{ \frac 1 {n^2} = \int_0^1\int_0^1 (xy)^{n-1} dx dy}\),

zastanawiam się jak ktoś doszedł do tego wzoru? Przypadkiem, metodą prób i błędów?
Ale podstawiając wartości całki oznaczonej powiązał to z interpretacją geometryczną tzn. z objętością pewnej figury...

\(\displaystyle{ \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin^{2n+1} t \ dt = \frac{2 \cdot 4 \cdot ... \cdot (2n)}{ 1 \cdot 3 \cdot ... \cdot (2n+1)} = \frac{1}{(-1)^n (2n+1) { - \frac{1}{2} \choose n }}}\)

To może ja to jeszcze tutaj zostawię