Matematyka.pl

Czy zbiór \(\displaystyle{ \left\{ w\in R[x]: w(1)w''(0)=0 \right\}}\) jest podprzestrzenią wektorową przestrzeni R[x]? Odpowiedź uzasadnij.

Tak, więc mam:
\(\displaystyle{ w\in R[x]:w(1)w''(0)=0}\)
\(\displaystyle{ p\in R[x]:p(1)p''(0)=0}\)
Mam sprawdzić czy zachodzi \(\displaystyle{ \alpha w(x)+ \beta p(x)=z(x) \in R[x]}\)

Nie wiem jak mam postępować w przypadku wielomianów. Co ja tak właściwie mam tu pokazać?

Masz sprawdzić czy wielomian \(\displaystyle{ z(x) = \alpha w(x) + \beta p(x)}\) również należy do Twojego zbioru, a nie do \(\displaystyle{ \mathbb{R}[x]}\). Czyli czy spełnia on warunek zadany w opisie Twojego zbioru.-- 10 sie 2016, o 12:01 --Podpowiem, że ten warunek akurat spełniony nie będzie, więc musisz poszukać kontrprzykładu.

Czyli mam \(\displaystyle{ ( \alpha w(1)+ \beta p(1)) \cdot ( \alpha w''(0)+ \beta p''(0))= \alpha \beta [w(1)p''(0)+w''(0)p(1)]}\)

W mnożeniu skorzystałem z tego, że \(\displaystyle{ w(1)w''(0)=0}\), ale co dalej z tym wyżej? Nie jest podprzestrzenią, bo nie jest równe 0?

No tak, to nie zawsze jest równe zero. Np. weźmy \(\displaystyle{ w(x) = (x-1)^2, \ p(x) = 1}\). Wtedy \(\displaystyle{ w(x), p(x)}\) należą do Twojego zbioru, ale \(\displaystyle{ z(x) = (x-1)^2 + 1}\) nie, bo \(\displaystyle{ z(1) = 1, \ z''(0) = 2}\), zatem \(\displaystyle{ z(1) \cdot z''(0) \neq 0}\).

Znalezienie kontrprzykładu jest jedyną opcją? Na egzaminie myślę, że nie zawsze łatwo i szybko da się coś wymyślić.

Tak najłatwiej pokazać, że coś nie zachodzi. Po prostu rozpisujesz sobie wszystko z definicji, korzystasz z tego co masz założone. I jak na końcu zostaje Ci jakieś wyrażenie to musisz się zastanowić czy ono też się zeruje (mając na uwadze Twoje założenia), czy jednak nie zawsze tak musi być.