Rozwiń funkcję w szereg maclaurina

Definicja szeregów liczbowych, kryteria zbieżności szeregów. Suma szeregu i iloczyn Cauchy'ego szeregów. Iloczyny nieskończone.
EnemyPanda
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 14
Rejestracja: 3 paź 2015, o 10:43
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 3 razy

Rozwiń funkcję w szereg maclaurina

Post autor: EnemyPanda » 8 sie 2016, o 20:44

Rozwiń funkcję w szereg maclaurina \(\displaystyle{ f(x) = \ln(8+x^3)}\)

Mam problem ponieważ liczę pochodną funkcji \(\displaystyle{ f'(x) = \frac{3x}{x^3+8}}\)
jest to szereg geometryczny więc rozwijam go do postaci: \(\displaystyle{ \sum_{0}^{ \infty } \frac{3x^2}{8} \cdot \left( \frac{x}{2} \right)^{3n}}\)

I teraz trzeba policzyć całkę z tego szeregu: \(\displaystyle{ \int \sum_{0}^{ \infty } \frac{3x^2}{8} \cdot \left( \frac{x}{2} \right)^{3n} = \sum_{0}^{ \infty } \int \frac{3x^2}{8} \cdot \left( \frac{x}{2} \right)^{3n}= \sum_{0}^{ \infty } \int 3 \cdot \frac{x^{3n+2}}{2^{3n+3}}}\) i tutaj się zatrzymałem ponieważ kiedy scałkujemy te sumy to nie wiem jak policzyć stałą C. Każda całką ma własną stałą czyli tak jakby \(\displaystyle{ C_n}\) więc jak dokończyć to rozwijanie?
Rekrutacja Instytut Matematyczny, Uniwersytet Wrocławski (gif)

Awatar użytkownika
Premislav
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 14627
Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 96 razy
Pomógł: 4812 razy

Rozwiń funkcję w szereg maclaurina

Post autor: Premislav » 8 sie 2016, o 21:18

Trzeba zastąpić całkę nieoznaczoną całką oznaczoną (tutaj od \(\displaystyle{ 0}\) do \(\displaystyle{ x}\) będzie wygodna) i wtedy jest fajnie, nie musimy martwić się stałymi.
BTW podałaś złą postać \(\displaystyle{ f'(x),}\) powinno być \(\displaystyle{ f'(x)= \frac{3x^2}{x^3+8}}\), ale dalej chyba nie powielasz tego błędu. Ale ogólnie trochę błędów jest, chyba rozwijasz ze wzoru
\(\displaystyle{ \frac{1}{1+t}= \sum_{n=0}^{+\infty} t^n}\), a on nie jest prawdziwy, tam powinno być
\(\displaystyle{ \frac{1}{1-t}}\), czyli np. \(\displaystyle{ \frac{1}{1-\left( -\frac{x^3}{8} \right)^n }}\) ;myślę, że efektywniej będzie, jeśli zrobię to zadanie i napiszę objaśnienie (nie umiem pisać wskazówek).
\(\displaystyle{ f(x)=\ln(8+x^3)\\ f'(x)= \frac{3x^2}{x^3+8}\\ \text{ dla } |x|<2 \text{ mamy } f'(x)= \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{3}{8}x^2 (-1)^n \left( \frac{x}{2} \right)^{3n} \\ \text{ całkujemy w granicach od } 0 \text{ do } x \text{ równość } f'(t)=\sum_{n=0}^{+\infty} \frac{3}{8}t^2 (-1)^n \left( \frac{t}{2} \right)^{3n}\\ f(x)-f(0)= 3\sum_{n=0}^{+\infty}(-1)^n\left( \frac 1 2\right)^{3n+3} \frac{x^{3n+3}}{3n+3}=\\= \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{1}{8(n+1)}\left( -\frac 1 8\right)^n x^{3n+3}}\)
Oczywiście \(\displaystyle{ f(0)=3\ln 2}\).-- 8 sie 2016, o 20:21 --Więc ostatecznie
\(\displaystyle{ f(x)=3\ln 2+\sum_{n=0}^{+\infty} \frac{1}{8(n+1)}\left( -\frac 1 8\right)^n x^{3n+3}}\)
dla \(\displaystyle{ |x|<2}\) (bo korzystamy z tego, że wewnątrz przedziału zbieżności możemy różniczkować i całkować szereg potęgowy wyraz po wyrazie).

zisia124
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2
Rejestracja: 7 lis 2019, o 18:07
Płeć: Kobieta
wiek: 19

Re: Rozwiń funkcję w szereg maclaurina

Post autor: zisia124 » 27 mar 2020, o 09:12

Ale jak calkujemy w granicach od \(\displaystyle{ 0}\) do \(\displaystyle{ x}\) tamto \(\displaystyle{ f ' (t)}\) to to powinno byc rowne naszemu \(\displaystyle{ f(x)}\) no nie? A potem sie podstawia wartosc tego szeregu. Tylko ze jak sobie wstawisz policzona ta calke jeszcze zanim wstawimy wzor na szereg to wychodzi \(\displaystyle{ \ln(8+x^3) - \ln(8)}\) i to nie jest nasz wzor \(\displaystyle{ f(x)}\), wiec nie trzeba tam do wyniku dodac \(\displaystyle{ \ln(8)}\) czy cos zeby to zadzialalo?
Ostatnio zmieniony 27 mar 2020, o 10:49 przez Dasio11, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Brak LaTeX-a. Proszę zapoznaj się z instrukcją: http://matematyka.pl/latex.htm.

Awatar użytkownika
Premislav
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 14627
Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 96 razy
Pomógł: 4812 razy

Re: Rozwiń funkcję w szereg maclaurina

Post autor: Premislav » 27 mar 2020, o 09:23

Przecież dodałem tę stałą do wyniku, mamy \(\displaystyle{ 3\ln 2=\ln 8}\).
A pierwszej części szczerze mówiąc nie rozumiem. Chodzi Ci o to, że przechodzę od
\(\displaystyle{ f(x)=\sum_{n}a_{n}x^{n}}\) (wewnątrz przedziału zbieżności) do
\(\displaystyle{ \int_{0}^{x}f(t)\mbox{d}t=\int_{0}^{x}\sum_{n}a_{n}t^{n}}\) :?:
To są tylko nazwy zmiennych, je sobie można pozamieniać, byle tylko nie popadać w konflikt oznaczeń. Ale jeśli tak bardzo Ci się to nie podoba, to możesz napisać zamiast tego \(\displaystyle{ \int_{0}^{t}f(x)\mbox{d}x=\int_{0}^{t}\sum_{n}a_{n}x^{n}}\)
Nie zmieni to ani wyniku, ani rozumowania.

ODPOWIEDZ