pochodne funkcji złożonych

Różniczkowalność, pochodna funkcji. Przebieg zmienności. Zadania optymalizacyjne. Równania i nierówności z wykorzystaniem rachunku różniczkowego.
mat1989
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3393
Rejestracja: 29 sty 2006, o 14:15
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 466 razy
Pomógł: 197 razy

pochodne funkcji złożonych

Post autor: mat1989 » 6 wrz 2007, o 14:17

1) \(\displaystyle{ f(x)=\sqrt[5]{x^4+1}}\)
2) \(\displaystyle{ f(x)=\sqrt{x^2-1}}\)
3) \(\displaystyle{ f(x)=\sqrt{\cos^2 x+5x^2+1}}\)
4) \(\displaystyle{ f(x)=\sqrt[7]{4\cdot 2 \sin 5x}}\)
5)\(\displaystyle{ f(x)=\frac{\sin ^2 6x}{x^4+\sqrt[5]{x^2+\cos ^2 2x}}}\)


1) \(\displaystyle{ \frac{1}{5}(x^4+1)^{-\frac{4}{5}}(4x^3)}\)
2) \(\displaystyle{ \frac{1}{2\sqrt{(x^2-1)}}2x}\)
3) \(\displaystyle{ \frac{1}{2\sqrt{(\cos^2 x +5x^2+1)}}(2\cos x (-sin x)+10x)}\)
prosiłbym na razie o sprawdzenie tych 3 przykładów.
Resztę rozwiązań postaram się napisać później.
poprawione.
Ostatnio zmieniony 6 wrz 2007, o 18:31 przez mat1989, łącznie zmieniany 4 razy.
Rekrutacja Instytut Matematyczny, Uniwersytet Wrocławski (gif)

luka52
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 8602
Rejestracja: 1 maja 2006, o 20:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 47 razy
Pomógł: 1817 razy

pochodne funkcji złożonych

Post autor: luka52 » 6 wrz 2007, o 14:25

Chyba coś po drodze gubisz.
Dla przykładu - 1:
\(\displaystyle{ f'(x) = ft( (x^4 + 1)^{1/5} \right)' = \frac{1}{5} ft( x^4 + 1 \right)^{\frac{1}{5} - 1} (x^4 + 1)' = \frac{1}{5} \frac{4x^3}{(x^4 + 1)^{4/5}}}\)

soku11
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 6607
Rejestracja: 16 sty 2007, o 19:42
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 119 razy
Pomógł: 1822 razy

pochodne funkcji złożonych

Post autor: soku11 » 6 wrz 2007, o 14:34

3 pierwsze masz dobrze, oprocz tego malego problemu zauwazonego przez luka52. Rozwiaz kolejne to sie sprawdzi POZDRO

[ Komentarz dodany przez: luka52: 6 Września 2007, 14:49 ]
Pierwszy przykład nadal nie jest dobrze, a reszta została poprawiona

Awatar użytkownika
setch
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1307
Rejestracja: 14 sie 2006, o 22:37
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bełchatów
Podziękował: 155 razy
Pomógł: 207 razy

pochodne funkcji złożonych

Post autor: setch » 6 wrz 2007, o 16:30

mat1989, zapamiętaj, że \(\displaystyle{ (\sqrt{f(x)})'=\frac{f'(x)}{2\sqrt{f(x)}}}\)

mat1989
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3393
Rejestracja: 29 sty 2006, o 14:15
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 466 razy
Pomógł: 197 razy

pochodne funkcji złożonych

Post autor: mat1989 » 6 wrz 2007, o 18:34

4) \(\displaystyle{ \frac{1}{7}(8\sin 5x)^{-\frac{6}{7}}(8\cdot 5 \cos 5x)}\)
dobrze?

[ Dodano: 6 Września 2007, 18:55 ]
5) pochodna licznika \(\displaystyle{ 6\cdot 3\sin^2 6x\cdot \cos 6x}\)
pochodna mianownika \(\displaystyle{ 4x^3+\frac{1}{5}(x^2+\cos^2 2x)^{-\frac{4}{5}}[2x+2\cdot 2\cos 2x (-\sin 2x)]}\)
?

soku11
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 6607
Rejestracja: 16 sty 2007, o 19:42
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 119 razy
Pomógł: 1822 razy

pochodne funkcji złożonych

Post autor: soku11 » 6 wrz 2007, o 19:09

4 jest ok.

5) Pochodna licznika:
\(\displaystyle{ 12sin6xcos6x}\)
Mianownika jest ok.

POZDRO

mat1989
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3393
Rejestracja: 29 sty 2006, o 14:15
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 466 razy
Pomógł: 197 razy

pochodne funkcji złożonych

Post autor: mat1989 » 6 wrz 2007, o 20:13

soku11, mógłbyś tą pochodną licznika rozpisać?

soku11
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 6607
Rejestracja: 16 sty 2007, o 19:42
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 119 razy
Pomógł: 1822 razy

pochodne funkcji złożonych

Post autor: soku11 » 6 wrz 2007, o 20:15

\(\displaystyle{ ( sin^{2}6x )'=2sin6x\cdot (sin6x)'\cdot (6x)'=12sin6xcos6x}\)

Chyba tak POZDRO

mat1989
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3393
Rejestracja: 29 sty 2006, o 14:15
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 466 razy
Pomógł: 197 razy

pochodne funkcji złożonych

Post autor: mat1989 » 6 wrz 2007, o 21:47

ok sorki bo ma być pochodna z \(\displaystyle{ sin^3 6x}\) to dobrze ona policzona?

soku11
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 6607
Rejestracja: 16 sty 2007, o 19:42
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 119 razy
Pomógł: 1822 razy

pochodne funkcji złożonych

Post autor: soku11 » 6 wrz 2007, o 22:00

No w takim razie jest dobrze policzona POZDRO

mat1989
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3393
Rejestracja: 29 sty 2006, o 14:15
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 466 razy
Pomógł: 197 razy

pochodne funkcji złożonych

Post autor: mat1989 » 9 wrz 2007, o 11:51

\(\displaystyle{ z=\sqrt{\frac{a^2-x^2}{a^2+x^2}}\\s=\sqrt{\frac{1-\sqrt{t}}{1+\sqrt{t}}}\\u=\frac{\sqrt{1+v}-\sqrt{1-v}}{\sqrt{1+v}+\sqrt{1-v}}}\)

luka52
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 8602
Rejestracja: 1 maja 2006, o 20:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 47 razy
Pomógł: 1817 razy

pochodne funkcji złożonych

Post autor: luka52 » 9 wrz 2007, o 14:32

Najlepiej to sobie wprowadzić jakieś pomocnicze oznaczenia, np. w pierwszym:
\(\displaystyle{ z = \sqrt{s}, \quad s = \frac{a^2 - x^2}{a^2 + x^2}\\
\frac{dz}{dx} = \frac{dz}{ds} \frac{ds}{dx} = \\
= \frac{1}{2 \sqrt{s}} \frac{(-2x)(a^2 + x^2) - (a^2 -x^2) (2x)}{(a^2 + x^2)^2} = \ldots}\)

soku11
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 6607
Rejestracja: 16 sty 2007, o 19:42
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 119 razy
Pomógł: 1822 razy

pochodne funkcji złożonych

Post autor: soku11 » 9 wrz 2007, o 14:39

\(\displaystyle{ s'=\frac{1}{ 2\sqrt{\frac{1-\sqrt{t}}{1+\sqrt{t}}} }\cdot (\frac{1-\sqrt{t}}{1+\sqrt{t}})'}\)
\(\displaystyle{ ( frac{1-sqrt{t}}{1+sqrt{t}} )'=
frac{-frac{1}{2sqrt{t}} (1+sqrt{t})-(1-sqrt{t})frac{1}{2sqrt{t}} }
{ (1+sqrt{t}) ^2}=
frac{frac{1}{2sqrt{t}}[-1-sqrt{t}-1+sqrt{t}) }
{ (1+sqrt{t}) ^2}=
frac{frac{-1}{sqrt{t}}} { (1+sqrt{t}) ^2}}\)


Polaczyc i poskaracac i cos powinno wyjsc POZDRO

ODPOWIEDZ