Zbieżność w sensie metryki

Istnienie i ciągłość funkcji granicznej, jednostajna zbieżność. Zmiana kolejności przejścia granicznego. Różniczkowanie i całkowanie szeregów. Istnienie i zbieżność rozwinięć Taylora, Maclaurina, Fouriera itd.
Kaktusiewicz
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 60
Rejestracja: 21 kwie 2007, o 19:15
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Chełm Śląski
Podziękował: 16 razy

Zbieżność w sensie metryki

Post autor: Kaktusiewicz » 6 wrz 2007, o 13:31

Witam!
Jak rozwiązać to zadanie:
W przestrzeni \(\displaystyle{ {X}=\{f: [0, 1] {R}, f}\)- całkowalna z kwadratem\(\displaystyle{ \}}\) Mamy dany iloczyn skalarny:
\(\displaystyle{ \cdot | \ : {X}\times{X} {R} : (f,\ g)\in {X}\times{X}\rightarrow (f|g):=\displaystyle\int\limits_{[0,\ 1]}f(x)g(x)dx}\)
Pokaż że ciąg \(\displaystyle{ (f_n)_{n\in{N}}\ :\ f_n(x)=\frac{1}{\sqrt{1+n^2x^2}}}\) jest zbieżny do \(\displaystyle{ f\equiv 0}\) w sensie metryki indukowanej przez nasz iloczyn skalarny. Czy ciąg \(\displaystyle{ (f_n)_{n\in{N}}}\) jest zbieżny do \(\displaystyle{ f\equiv 0}\) punktowo? jednostajnie?


Kompletnie nie wiem, jak się za to zabrać: czy rozpatrywać kwadrat tej samej funkcji pod całką, czy zupełnie inaczej. Proszę o pomoc.
Rekrutacja Instytut Matematyczny, Uniwersytet Wrocławski (gif)

Awatar użytkownika
Anathemed
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 101
Rejestracja: 12 lip 2007, o 21:09
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Pomógł: 34 razy

Zbieżność w sensie metryki

Post autor: Anathemed » 6 wrz 2007, o 13:59

Po pierwsze trzeba się zastanowić, jak wygląda w ogóle ta indukowana metryka.
A wygląda ona tak:
\(\displaystyle{ d(f(x),g(x)) = \sqrt{\int\limits_{[0,\ 1]}(f(x) - g(x))^2dx}}\)

Teraz trzeba sprawdzić, czy ciąg \(\displaystyle{ {a_n}}\), \(\displaystyle{ a_n = d(f_n(x),f(x))}\) jest zbieżny do zera - wtedy zbadamy zbieżność punktową.

Następnie standardowo badamy zbieżność jednostajną, korzystając na przykład z twierdzenia:
\(\displaystyle{ f_n}\) dąży do f jednostajnie wtedy i tylko wtedy, gdy \(\displaystyle{ M_n = sup_{x R}|f_n(x) - f(x)|}\) dąży do zera

Kaktusiewicz
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 60
Rejestracja: 21 kwie 2007, o 19:15
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Chełm Śląski
Podziękował: 16 razy

Zbieżność w sensie metryki

Post autor: Kaktusiewicz » 6 wrz 2007, o 21:32

Czy \(\displaystyle{ sup_{x R}|f_n(x) - f(x)|}\) jest tu już zwykłą wartością bezwzlędną?

[edit]
Dla x=0 (szczególny przypadek w zb. punktowej) też obliczamy całkę po całym przedziale [0,1]?

ODPOWIEDZ