Matematyka.pl

Dobry,
w dowodzie Euler'a traktującym o sumie szeregu

\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2}=\frac{\pi^2}{6}}\)

funkcja \(\displaystyle{ \sin x}\) (albo \(\displaystyle{ \frac{\sin x}{x}}\)) zostaje przedstawiona na dwa różne sposoby. Pierwszy to szereg Taylora, drugi to pewien specyficzny nieskończony iloczyn:

\(\displaystyle{ \sin x=x\left(1-\frac{x}{\pi}\right)\left(1+\frac{x}{\pi}\right)\left(1-\frac{x}{2\pi}\right)\left(1+\frac{x}{2\pi}\right)\ldots=x\prod_{n=1}^{\infty}\left(1-\frac{x^2}{n^2\pi^2}\right)}\)
Właściwy problem mam w tym, że nie widzę, dlaczego tak skonstruowana funkcja na podstawie miejsc zerowych funkcji \(\displaystyle{ \sin x}\) jest dokładnie taka sama jak \(\displaystyle{ \sin x}\), skoro, na przykładzie wielomianu, funkcja \(\displaystyle{ f(x)}\) i \(\displaystyle{ \frac{1}{6}f(x)}\) ewidentnie nie są takie same. Czy może ten sinus to przypadek? Z tego co przeczytałem, to Euler polegał na swojej intuicji i miał trochę szczęścia w tym dowodzie, że w ogóle da się w ten sposób przedstawić sinusa, bo nie było wtedy jeszcze twierdzenia o rozkładzie na czynniki Weierstrass'a. Próbowałem odpowiedzi szukać też w tym twierdzeniu, ale z racji tego, że pod ręką mam tylko Fichtenholz'a oraz Rudin'a i u drugiego Pana twierdzenie to jest pod koniec książki, a ja jestem prawie na jej początku, to ciężko mi było cokolwiek wydobyć (u Fichtenholz'a nie znalazłem tego twierdzenia, może przeoczyłem). Byłby ktoś tak miły, żeby mi to wytłumaczyć?

Podziel obie strony przez \(\displaystyle{ x}\) i wylicz granice w zerze, to się przekonasz dlaczego stała jest taka, jaką jest (czyli \(\displaystyle{ 1}\)).

Korzystając z faktoryzacyjnego twierdzenia Weierstraßa (znajdziesz je w internecie) można pokazać, że szereg potęgowy

\(\displaystyle{ \frac{\sin x}{x}}\)

jest produktem liniowych czynników (wyznaczonych przez miejsca zerowe), tak jak dla zwykłych wielomianów. To nie zawsze jest prawdziwe stwierdzenie, ale Eulerowi akurat udało się nie palnąć gafy.